Номер 683, страница 149 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

683. *Два маленьких тела массой $m = 1,0$ г каждое удерживаются на горизонтальной плоскости на расстоянии $l = 1,0$ м друг от друга. Заряд каждого тела $q = 1,0$ мкКл. Коэффициент трения тел о плоскость $\mu = 0,10$. Тела одновременно освобождают. Определите модуль максимальной скорости тел, которой они достигнут при движении.

Дано:

$m = 1,0 \text{ г} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$l = 1,0 \text{ м}$

$q = 1,0 \text{ мкКл} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$μ = 0,10$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Найти:

$v_{max}$

Решение:

Два одноименно заряженных тела будут отталкиваться друг от друга под действием силы Кулона. Движению тел будет препятствовать сила трения скольжения. Так как тела находятся на горизонтальной плоскости, сила нормальной реакции $N$ для каждого тела равна силе тяжести $mg$.

Сила Кулона, действующая на каждое тело, зависит от расстояния $r$ между ними:

$F_c = \frac{k q^2}{r^2}$

Сила трения скольжения, действующая на каждое тело, постоянна:

$F_{тр} = \mu N = \mu m g$

В начальный момент времени ($r = l$) сила Кулона $F_c(l) = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1,0 \cdot 10^{-6})^2}{1,0^2} = 9 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$. Сила трения $F_{тр} = 0,10 \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \cdot 10 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$. Поскольку $F_c(l) > F_{тр}$, тела начнут двигаться с ускорением.

По мере увеличения расстояния $r$ между телами сила Кулона $F_c$ будет уменьшаться. Ускорение тел будет положительным, и их скорость будет расти до тех пор, пока сила Кулона не станет равной силе трения. В этот момент ускорение станет равным нулю, а скорость достигнет своего максимального значения. Обозначим расстояние, при котором это произойдет, как $r_{max}$.

Условие достижения максимальной скорости:

$F_c = F_{тр}$

$\frac{k q^2}{r_{max}^2} = \mu m g$

Отсюда найдем расстояние $r_{max}$:

$r_{max} = \sqrt{\frac{k q^2}{\mu m g}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1,0 \cdot 10^{-6})^2}{0,10 \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \cdot 10}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^{-3}}{1 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{9} = 3,0 \text{ м}$

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения (теоремой об изменении кинетической энергии). Рассматриваем систему из двух тел. Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на тела.

$\Delta E_k = A_c + A_{тр}$

Изменение кинетической энергии системы (начальная скорость равна нулю):

$\Delta E_k = E_{k,кон} - E_{k,нач} = (\frac{m v_{max}^2}{2} + \frac{m v_{max}^2}{2}) - 0 = m v_{max}^2$

Работа силы Кулона равна изменению потенциальной энергии взаимодействия зарядов, взятому с обратным знаком:

$A_c = -(U_2 - U_1) = \frac{k q^2}{l} - \frac{k q^2}{r_{max}}$

Работа силы трения отрицательна. Каждое тело проходит путь $\Delta x = \frac{r_{max} - l}{2}$. Суммарная работа сил трения для двух тел:

$A_{тр} = -2 \cdot F_{тр} \cdot \Delta x = -2 \cdot (\mu m g) \cdot \frac{r_{max} - l}{2} = -\mu m g (r_{max} - l)$

Подставим все выражения в уравнение для изменения энергии:

$m v_{max}^2 = \frac{k q^2}{l} - \frac{k q^2}{r_{max}} - \mu m g (r_{max} - l)$

Выразим $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{1}{m} \left( k q^2 (\frac{1}{l} - \frac{1}{r_{max}}) - \mu m g (r_{max} - l) \right)}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \sqrt{\frac{1}{1,0 \cdot 10^{-3}} \left( 9 \cdot 10^9 \cdot (1,0 \cdot 10^{-6})^2 (\frac{1}{1,0} - \frac{1}{3,0}) - 0,10 \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot (3,0 - 1,0) \right)}$

$v_{max} = \sqrt{\frac{1}{10^{-3}} \left( 9 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{2}{3} - 1 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \right)}$

$v_{max} = \sqrt{\frac{1}{10^{-3}} \left( 6 \cdot 10^{-3} - 2 \cdot 10^{-3} \right)} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-3}}{10^{-3}}} = \sqrt{4} = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль максимальной скорости тел равен $2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.