Номер 684, страница 149 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

684. *Под точечным закрепленным зарядом $q_1 = 10$ мкКл на расстоянии $l = 5,0$ м от него удерживают маленький шарик массой $m = 9,0$ г и зарядом $q_2 = -4,0$ мкКл. Определите модуль минимальной вертикальной скорости, которую надо сообщить шарику, чтобы он долетел до закрепленного заряда.

Дано:

$q_1 = 10 \text{ мкКл}$

$l = 5,0 \text{ м}$

$m = 9,0 \text{ г}$

$q_2 = -4,0 \text{ мкКл}$

$q_1 = 10 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$l = 5,0 \text{ м}$

$m = 9,0 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$q_2 = -4,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$k = 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$v_{min}$

Решение:

На маленький шарик действуют две силы, направленные по вертикали: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила Кулона $F_e = \frac{k|q_1q_2|}{r^2}$, направленная вверх (так как заряды разноименные и притягиваются). Шарик находится под зарядом $q_1$, поэтому для движения вверх ему нужно преодолеть силу тяжести, в то время как сила Кулона ему помогает.

Результирующая сила, действующая на шарик на расстоянии $r$ от заряда $q_1$, равна:

$F_{net} = F_e - F_g = \frac{k|q_1q_2|}{r^2} - mg$

В начальный момент времени ($r = l = 5,0 \text{ м}$) сила тяжести больше силы Кулона, поэтому результирующая сила направлена вниз и тормозит шарик, брошенный вверх. Однако, по мере приближения к заряду $q_1$ (уменьшения $r$), сила Кулона возрастает.

Найдем расстояние $r_{eq}$, на котором результирующая сила равна нулю (положение неустойчивого равновесия):

$F_{net} = 0 \implies \frac{k|q_1q_2|}{r_{eq}^2} = mg$

$r_{eq} = \sqrt{\frac{k|q_1q_2|}{mg}}$

Подставим значения:

$r_{eq} = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \cdot |10 \times 10^{-6} \cdot (-4,0 \times 10^{-6})|}{9,0 \times 10^{-3} \cdot 10}} = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \cdot 40 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{360 \times 10^{-3}}{9 \times 10^{-2}}} = \sqrt{40 \times 10^{-1}} = \sqrt{4} = 2,0 \text{ м}$

Если шарик сможет достичь этой точки, то при дальнейшем приближении к $q_1$ ($r < r_{eq}$) сила притяжения $F_e$ станет больше силы тяжести $F_g$, и шарик будет ускоряться в сторону $q_1$. Таким образом, минимальная начальная скорость $v_{min}$ — это скорость, достаточная для того, чтобы шарик достиг точки $r_{eq}$ с нулевой скоростью.

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Полная энергия системы состоит из кинетической энергии шарика, его потенциальной энергии в поле тяготения и потенциальной энергии взаимодействия зарядов.

$E = E_k + E_{p,g} + E_{p,e} = \text{const}$

Приравняем полную энергию в начальной точке (1) и в точке равновесия (2).

$E_1 = E_2$

$\frac{mv_{min}^2}{2} + E_{p,g1} + E_{p,e1} = \frac{mv_2^2}{2} + E_{p,g2} + E_{p,e2}$

Выберем начальное положение шарика за нулевой уровень потенциальной энергии в поле тяготения ($h_1 = 0$). Тогда в точке равновесия высота будет $h_2 = l - r_{eq}$.

В начальной точке (1): $r_1=l$, $v_1=v_{min}$, $h_1=0$.

$E_1 = \frac{mv_{min}^2}{2} + 0 + \frac{kq_1q_2}{l}$

В точке равновесия (2): $r_2=r_{eq}$, $v_2=0$, $h_2 = l-r_{eq}$.

$E_2 = 0 + mg(l - r_{eq}) + \frac{kq_1q_2}{r_{eq}}$

Приравниваем энергии:

$\frac{mv_{min}^2}{2} + \frac{kq_1q_2}{l} = mg(l - r_{eq}) + \frac{kq_1q_2}{r_{eq}}$

Выразим $v_{min}^2$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = mg(l - r_{eq}) + \frac{kq_1q_2}{r_{eq}} - \frac{kq_1q_2}{l}$

$v_{min}^2 = 2g(l - r_{eq}) + \frac{2kq_1q_2}{m}\left(\frac{1}{r_{eq}} - \frac{1}{l}\right)$

Подставим числовые значения:

$v_{min}^2 = 2 \cdot 10 \cdot (5,0 - 2,0) + \frac{2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot (10 \times 10^{-6}) \cdot (-4,0 \times 10^{-6})}{9,0 \times 10^{-3}} \left(\frac{1}{2,0} - \frac{1}{5,0}\right)$

$v_{min}^2 = 20 \cdot 3,0 + \frac{-0,72}{9,0 \times 10^{-3}} \left(0,5 - 0,2\right)$

$v_{min}^2 = 60 + (-80) \cdot 0,3$

$v_{min}^2 = 60 - 24 = 36 \text{ (м/с)}^2$

$v_{min} = \sqrt{36} = 6,0 \text{ м/с}$

Ответ: $6,0 \text{ м/с}$.