Номер 677, страница 147 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

677. *Протон, летящий в направлении «незакрепленного» ядра атома гелия, на очень большом расстоянии от него имеет скорость, модуль которой $v$. На какое минимальное расстояние сможет приблизиться протон к ядру гелия? Масса протона $m_p$, масса ядра гелия в 4 раза больше массы протона ($m_\alpha = 4m_p$). Заряд протона $q_p$, заряд ядра гелия в 2 раза больше заряда протона ($q_\alpha = 2q_p$). Излучением электромагнитной энергии пренебречь.

Дано:

Начальная скорость протона: $v$

Масса протона: $m_p$

Масса ядра гелия: $m_{\alpha} = 4m_p$

Заряд протона: $q_p$

Заряд ядра гелия: $q_{\alpha} = 2q_p$

Найти:

$r_{min}$ — минимальное расстояние сближения.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из протона и ядра гелия. Так как ядро гелия «незакрепленное», оно может свободно двигаться. Внешние силы, действующие на систему, отсутствуют, поэтому система является замкнутой. Взаимодействие между частицами — это электростатическое отталкивание, которое является консервативной силой. По условию, излучением энергии можно пренебречь. Следовательно, для системы выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.

В начальный момент времени (на очень большом расстоянии) протон движется со скоростью $v$, а ядро гелия покоится. В момент максимального сближения, когда расстояние между частицами становится минимальным ($r_{min}$), их относительная скорость равна нулю. Это означает, что они движутся как единое целое с некоторой одинаковой скоростью $u$.

1. Закон сохранения импульса.

Запишем закон сохранения импульса для системы в проекции на ось, совпадающую с начальным направлением движения протона. Начальный импульс системы равен импульсу протона:

$P_1 = m_p v$

Конечный импульс системы в момент максимального сближения равен:

$P_2 = (m_p + m_{\alpha})u$

Из закона сохранения импульса $P_1 = P_2$:

$m_p v = (m_p + m_{\alpha})u$

Подставим $m_{\alpha} = 4m_p$:

$m_p v = (m_p + 4m_p)u = 5m_p u$

Отсюда найдем скорость $u$ в момент максимального сближения:

$u = \frac{v}{5}$

2. Закон сохранения энергии.

Начальная полная механическая энергия системы состоит только из кинетической энергии протона, так как ядро гелия покоится, а потенциальная энергия электростатического взаимодействия на бесконечно большом расстоянии равна нулю.

$E_1 = \frac{m_p v^2}{2}$

Конечная полная механическая энергия системы в момент максимального сближения состоит из суммарной кинетической энергии обеих частиц и их потенциальной энергии взаимодействия.

$E_2 = \frac{(m_p + m_{\alpha})u^2}{2} + \frac{k q_p q_{\alpha}}{r_{min}}$

где $k$ — электростатическая постоянная.

Из закона сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{m_p v^2}{2} = \frac{(m_p + m_{\alpha})u^2}{2} + \frac{k q_p q_{\alpha}}{r_{min}}$

Подставим в это уравнение известные соотношения $m_{\alpha} = 4m_p$, $q_{\alpha} = 2q_p$ и найденное значение $u = \frac{v}{5}$:

$\frac{m_p v^2}{2} = \frac{(m_p + 4m_p)(\frac{v}{5})^2}{2} + \frac{k q_p (2q_p)}{r_{min}}$

$\frac{m_p v^2}{2} = \frac{5m_p (\frac{v^2}{25})}{2} + \frac{2k q_p^2}{r_{min}}$

$\frac{m_p v^2}{2} = \frac{m_p v^2}{10} + \frac{2k q_p^2}{r_{min}}$

Теперь выразим член, содержащий $r_{min}$:

$\frac{2k q_p^2}{r_{min}} = \frac{m_p v^2}{2} - \frac{m_p v^2}{10} = \frac{5m_p v^2 - m_p v^2}{10} = \frac{4m_p v^2}{10} = \frac{2m_p v^2}{5}$

Из последнего равенства найдем $r_{min}$:

$r_{min} = \frac{2k q_p^2 \cdot 5}{2m_p v^2} = \frac{5k q_p^2}{m_p v^2}$

Ответ: Минимальное расстояние, на которое сможет приблизиться протон к ядру гелия, равно $r_{min} = \frac{5k q_p^2}{m_p v^2}$.