Номер 671, страница 146 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

671. *Точечные заряды $q_1 = -1,0 \text{ мкКл}$, $q_2 = 2,0 \text{ мкКл}$ и $q_3 = 3,0 \text{ мкКл}$ расположены в вакууме в вершинах правильного треугольника со стороной $a = 20 \text{ см}$. Определите потенциальную энергию этой системы зарядов.

Дано:

$q_1 = -1,0 \text{ мкКл}$

$q_2 = 2,0 \text{ мкКл}$

$q_3 = 3,0 \text{ мкКл}$

$a = 20 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$q_1 = -1,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$q_2 = 2,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$q_3 = 3,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$a = 0,2 \text{ м}$

Постоянная $k = 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$W_p$ - ?

Решение:

Потенциальная энергия системы точечных зарядов равна алгебраической сумме потенциальных энергий взаимодействия каждой пары зарядов в этой системе. Для трех зарядов формула имеет вид:

$W_p = W_{12} + W_{13} + W_{23}$

где $W_{ij}$ - потенциальная энергия взаимодействия пары зарядов $q_i$ и $q_j$, находящихся на расстоянии $r_{ij}$ друг от друга, которая вычисляется по формуле:

$W_{ij} = k \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$

Поскольку заряды расположены в вершинах правильного треугольника со стороной $a$, расстояние между любыми двумя зарядами одинаково:

$r_{12} = r_{13} = r_{23} = a$

Тогда общая потенциальная энергия системы:

$W_p = k \frac{q_1 q_2}{a} + k \frac{q_1 q_3}{a} + k \frac{q_2 q_3}{a} = \frac{k}{a} (q_1 q_2 + q_1 q_3 + q_2 q_3)$

Подставим числовые значения и произведем расчеты.

Сначала найдем произведение зарядов для каждой пары:

$q_1 q_2 = (-1,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (2,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) = -2,0 \times 10^{-12} \text{ Кл}^2$

$q_1 q_3 = (-1,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (3,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) = -3,0 \times 10^{-12} \text{ Кл}^2$

$q_2 q_3 = (2,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (3,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) = 6,0 \times 10^{-12} \text{ Кл}^2$

Теперь найдем сумму этих произведений:

$q_1 q_2 + q_1 q_3 + q_2 q_3 = (-2,0 - 3,0 + 6,0) \times 10^{-12} \text{ Кл}^2 = 1,0 \times 10^{-12} \text{ Кл}^2$

Подставим полученное значение в формулу для потенциальной энергии:

$W_p = \frac{9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}{0,2 \text{ м}} \cdot (1,0 \times 10^{-12} \text{ Кл}^2) = 4,5 \times 10^{10} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{Кл}^2} \cdot 1,0 \times 10^{-12} \text{ Кл}^2 = 4,5 \times 10^{-2} \text{ Дж} = 0,045 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия системы зарядов равна $0,045 \text{ Дж}$.