Номер 669, страница 146 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

669. Определите отношение кинетических энергий и модулей скоростей протона и $\alpha$-частицы, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов, если заряд $\alpha$-частицы вдвое больше заряда протона ($q_{\alpha} = 2q_{p}$), а масса $\alpha$-частицы в четыре раза больше массы протона ($m_{\alpha} = 4m_{p}$). Начальные скорости обеих частиц равны нулю.

Дано:

$U_p = U_\alpha = U$ (ускоряющая разность потенциалов одинакова)

$v_{p0} = v_{\alpha0} = 0$ (начальные скорости равны нулю)

$q_\alpha = 2q_p$ (заряд $\alpha$-частицы вдвое больше заряда протона)

$m_\alpha = 4m_p$ (масса $\alpha$-частицы в четыре раза больше массы протона)

Найти:

$\frac{E_{kp}}{E_{k\alpha}}$ — ?

$\frac{v_p}{v_\alpha}$ — ?

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа $A$, совершаемая электрическим полем над частицей, равна изменению ее кинетической энергии $\Delta E_k$:

$A = \Delta E_k = E_k - E_{k0}$

Поскольку частицы начинают движение из состояния покоя, их начальные кинетические энергии равны нулю ($E_{k0} = 0$). Работа электрического поля при перемещении заряда $q$ через разность потенциалов $U$ вычисляется по формуле $A = qU$.

Таким образом, кинетическая энергия, которую приобретает частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов $U$, равна:

$E_k = qU$

Отношение кинетических энергий

Запишем выражения для конечных кинетических энергий протона ($E_{kp}$) и $\alpha$-частицы ($E_{k\alpha}$):

$E_{kp} = q_p U$

$E_{k\alpha} = q_\alpha U$

Найдем их отношение:

$\frac{E_{kp}}{E_{k\alpha}} = \frac{q_p U}{q_\alpha U} = \frac{q_p}{q_\alpha}$

Используя данные из условия задачи ($q_\alpha = 2q_p$), получаем:

$\frac{E_{kp}}{E_{k\alpha}} = \frac{q_p}{2q_p} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{E_{kp}}{E_{k\alpha}} = \frac{1}{2}$.

Отношение модулей скоростей

Кинетическая энергия связана с массой $m$ и скоростью $v$ частицы соотношением $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Отсюда скорость частицы можно выразить как $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$.

Запишем выражения для скоростей протона ($v_p$) и $\alpha$-частицы ($v_\alpha$):

$v_p = \sqrt{\frac{2E_{kp}}{m_p}}$

$v_\alpha = \sqrt{\frac{2E_{k\alpha}}{m_\alpha}}$

Найдем отношение их скоростей:

$\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{\sqrt{\frac{2E_{kp}}{m_p}}}{\sqrt{\frac{2E_{k\alpha}}{m_\alpha}}} = \sqrt{\frac{2E_{kp}}{m_p} \cdot \frac{m_\alpha}{2E_{k\alpha}}} = \sqrt{\frac{E_{kp}}{E_{k\alpha}} \cdot \frac{m_\alpha}{m_p}}$

Подставим ранее найденное отношение кинетических энергий $\frac{E_{kp}}{E_{k\alpha}} = \frac{1}{2}$ и данное в условии отношение масс $\frac{m_\alpha}{m_p} = 4$:

$\frac{v_p}{v_\alpha} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 4} = \sqrt{2}$

Ответ: $\frac{v_p}{v_\alpha} = \sqrt{2}$.