Номер 666, страница 145 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

666. Положительный точечный заряд $q$ создает электростатическое поле, модуль напряженности которого в точках $1$ и $2$ соответственно равен $E_1$ и $E_2$. Какую работу совершают силы электростатического поля при перемещении точечного заряда $q_0$ из точки $1$ в точку $2$ (рис. 124)? Диэлектрическая проницаемость среды, окружающей заряд, равна $\epsilon$.

Рис. 124

Дано:

Заряд, создающий поле: $q$
Пробный заряд: $q_0$
Модуль напряженности поля в точке 1: $E_1$
Модуль напряженности поля в точке 2: $E_2$
Диэлектрическая проницаемость среды: $\varepsilon$

Найти:

Работу сил электростатического поля $A_{12}$.

Решение:

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда $q_0$ из точки 1 в точку 2, определяется разностью потенциалов между начальной и конечной точками траектории:

$A_{12} = q_0(\varphi_1 - \varphi_2)$

где $\varphi_1$ и $\varphi_2$ – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2 соответственно.

Потенциал $\varphi$ и модуль напряженности $E$ электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, выражаются формулами:

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q}{r}$

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q}{r^2}$

где $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

Для решения задачи необходимо выразить потенциалы $\varphi_1$ и $\varphi_2$ через заданные модули напряженности $E_1$ и $E_2$. Для этого найдем связь между потенциалом и напряженностью.

Из формулы для напряженности поля выразим расстояние $r$:

$r^2 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon E} \implies r = \sqrt{\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon E}}$

Теперь подставим полученное выражение для $r$ в формулу для потенциала $\varphi$:

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q}{r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon E}}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon E}{q}}$

Внося множитель под знак корня, получаем:

$\varphi = \sqrt{\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\right)^2 \frac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon E}{q}} = \sqrt{\frac{q^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0\varepsilon E}{(4\pi\varepsilon_0\varepsilon)^2 q}} = \sqrt{\frac{q E}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}}$

Используя эту зависимость, найдем потенциалы в точках 1 и 2:

$\varphi_1 = \sqrt{\frac{q E_1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}}$

$\varphi_2 = \sqrt{\frac{q E_2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}}$

Подставим выражения для потенциалов в формулу для работы:

$A_{12} = q_0 \left( \sqrt{\frac{q E_1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}} - \sqrt{\frac{q E_2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}} \right)$

Вынесем общий множитель $\sqrt{\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}}$ за скобки, чтобы получить окончательное выражение:

$A_{12} = q_0 \sqrt{\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}} (\sqrt{E_1} - \sqrt{E_2})$

Ответ: $A_{12} = q_0 \sqrt{\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}} (\sqrt{E_1} - \sqrt{E_2})$