Номер 662, страница 144 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

662. Два точечных заряда $q = 1,0$ мкКл каждый находятся в вакууме на расстоянии $r_1 = 50$ см друг от друга. Определите минимальную работу, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния $r_2 = 10$ см.

Дано:

$q_1 = q_2 = q = 1,0 \text{ мкКл} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$r_1 = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$

$r_2 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент пропорциональности в законе Кулона)

Найти:

$A$ - минимальная работа.

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить внешней силе для изменения конфигурации системы зарядов (в данном случае — для их сближения), равна изменению потенциальной энергии этой системы. Это утверждение следует из теоремы о потенциальной энергии: работа консервативных сил (в данном случае кулоновских) равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком ($A_{эл} = -(W_{p2} - W_{p1})$). Минимальная работа внешней силы совершается против этих сил и равна $A = -A_{эл}$, при условии, что кинетическая энергия системы не изменяется. Таким образом:

$A = \Delta W_p = W_{p2} - W_{p1}$

где $W_{p1}$ — начальная потенциальная энергия системы, а $W_{p2}$ — конечная потенциальная энергия системы.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга в вакууме, вычисляется по формуле:

$W_p = k \frac{q_1 q_2}{r}$

Так как заряды одинаковы ($q_1 = q_2 = q$), формула принимает вид:

$W_p = k \frac{q^2}{r}$

Найдем начальную и конечную потенциальные энергии системы:

Начальная энергия (когда расстояние между зарядами равно $r_1$):

$W_{p1} = k \frac{q^2}{r_1}$

Конечная энергия (когда расстояние между зарядами равно $r_2$):

$W_{p2} = k \frac{q^2}{r_2}$

Теперь можем найти работу как разность конечной и начальной энергий:

$A = W_{p2} - W_{p1} = k \frac{q^2}{r_2} - k \frac{q^2}{r_1} = k q^2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$A = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})^2 \cdot \left( \frac{1}{0,1 \text{ м}} - \frac{1}{0,5 \text{ м}} \right)$

Выполним вычисления:

$A = 9 \cdot 10^9 \cdot 1,0 \cdot 10^{-12} \cdot (10 - 2) \text{ Дж}$

$A = 9 \cdot 10^{-3} \cdot 8 \text{ Дж}$

$A = 72 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0,072 \text{ Дж}$

Поскольку заряды одноименные, они отталкиваются. Для их сближения необходимо преодолеть силы отталкивания, совершив положительную работу, что и подтверждается знаком полученного результата.

Ответ: $A = 0,072 \text{ Дж}$.