Номер 657, страница 143 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

657. В воздухе в вершинах квадрата со стороной $a = 45$ см расположены точечные заряды $q_1 = 4,5$ нКл, $q_2 = -2,5$ нКл, $q_3 = 2,5$ нКл, $q_4 = -5,4$ нКл. Найдите потенциал поля в точке, являющейся серединой стороны, соединяющей заряды $q_1$ и $q_4$.

Дано

$a = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м}$
$q_1 = 4,5 \text{ нКл} = 4,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = -2,5 \text{ нКл} = -2,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_3 = 2,5 \text{ нКл} = 2,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_4 = -5,4 \text{ нКл} = -5,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$\phi$ — ?

Решение

Потенциал электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов, в некоторой точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции).

$\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_4$

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется формулой:

$\phi = k \frac{q}{r}$

Пусть заряды $q_1, q_2, q_3, q_4$ расположены в вершинах квадрата. Обозначим искомую точку как M. Точка M является серединой стороны, соединяющей заряды $q_1$ и $q_4$.

Найдем расстояния от каждого заряда до точки M:

1. Расстояние от заряда $q_1$ до точки M равно половине стороны квадрата:

$r_1 = \frac{a}{2}$

2. Расстояние от заряда $q_4$ до точки M также равно половине стороны квадрата:

$r_4 = \frac{a}{2}$

3. Для нахождения расстояния от заряда $q_2$ до точки M рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого равны стороне квадрата $a$ и половине стороны $a/2$. Расстояние $r_2$ будет гипотенузой этого треугольника:

$r_2 = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

4. Аналогично, расстояние от заряда $q_3$ до точки M равно:

$r_3 = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Теперь можем записать формулу для суммарного потенциала в точке M:

$\phi = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2} + k \frac{q_3}{r_3} + k \frac{q_4}{r_4} = k \left( \frac{q_1}{a/2} + \frac{q_2}{a\sqrt{5}/2} + \frac{q_3}{a\sqrt{5}/2} + \frac{q_4}{a/2} \right)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\phi = \frac{2k}{a} \left( q_1 + \frac{q_2}{\sqrt{5}} + \frac{q_3}{\sqrt{5}} + q_4 \right) = \frac{2k}{a} \left( (q_1 + q_4) + \frac{q_2+q_3}{\sqrt{5}} \right)$

Подставим значения зарядов:

$q_1 + q_4 = 4,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} - 5,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = -0,9 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 + q_3 = -2,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} + 2,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 0 \text{ Кл}$

Тогда выражение для потенциала упрощается:

$\phi = \frac{2k}{a} (q_1 + q_4)$

Выполним вычисления:

$\phi = \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9}{0,45} \cdot (-0,9 \cdot 10^{-9}) = \frac{18 \cdot 10^9}{0,45} \cdot (-0,9 \cdot 10^{-9}) = 40 \cdot 10^9 \cdot (-0,9 \cdot 10^{-9}) = -36 \text{ В}$

Ответ: потенциал поля в указанной точке равен -36 В.