Номер 652, страница 142 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

652. Два разноименных точечных заряда, модули которых одинаковы: $|q_1|=|q_2|=40 \text{ нКл}$, расположены в вакууме в двух вершинах правильного треугольника со стороной $a=2,0 \text{ м}$. Определите потенциал и модуль напряженности электростатического поля в третьей вершине треугольника.

Дано:

$|q_1| = |q_2| = q = 40 \text{ нКл}$

$a = 2,0 \text{ м}$

Заряды разноименные ($q_1 = -q_2$).

Среда - вакуум.

$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент пропорциональности в законе Кулона)

Перевод в систему СИ:

$q = 40 \text{ нКл} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 4 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Найти:

$\varphi$ - ?

$E$ - ?

Решение:

Пусть заряды $q_1 = +q$ и $q_2 = -q$ расположены в двух вершинах правильного треугольника со стороной $a$. Найдем потенциал и модуль напряженности поля в третьей вершине.

Потенциал электростатического поля в третьей вершине треугольника

Потенциал $\varphi$ в искомой точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов, согласно принципу суперпозиции. Расстояние от каждого заряда до третьей вершины равно стороне треугольника $a$.

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = k \frac{q_1}{a} + k \frac{q_2}{a}$

Так как заряды разноименные и равны по модулю ($q_1 = +q$, $q_2 = -q$), их сумма равна нулю:

$\varphi = k \frac{q}{a} + k \frac{-q}{a} = \frac{k}{a}(q - q) = 0$

Ответ: Потенциал в третьей вершине треугольника равен $\varphi = 0 \text{ В}$.

Модуль напряженности электростатического поля в третьей вершине треугольника

Напряженность $\vec{E}$ в третьей вершине является векторной суммой напряженностей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$ соответственно:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Модули векторов напряженности равны, так как равны модули зарядов и расстояния до них:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{a^2} = k \frac{q}{a^2}$

$E_2 = k \frac{|q_2|}{a^2} = k \frac{q}{a^2}$

Вектор $\vec{E}_1$ направлен от положительного заряда $q_1$, а вектор $\vec{E}_2$ — к отрицательному заряду $q_2$. Так как треугольник правильный, угол между сторонами в третьей вершине равен $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ составляет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Модуль результирующей напряженности $E$ найдем по теореме косинусов:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos(120^\circ)}$

Учитывая, что $E_1 = E_2$ и $\cos(120^\circ) = -0,5$, получаем:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2 (-0,5)} = \sqrt{2E_1^2 - E_1^2} = \sqrt{E_1^2} = E_1$

Таким образом, модуль результирующей напряженности равен модулю напряженности поля, создаваемого каждым из зарядов в отдельности. Подставим числовые значения:

$E = k \frac{q}{a^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{4 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{(2,0 \text{ м})^2} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 10^{1}}{4} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 90 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Единицы измерения Н/Кл и В/м эквивалентны.

Ответ: Модуль напряженности в третьей вершине треугольника равен $E = 90 \text{ В/м}$.