Номер 653, страница 142 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

653. В вакууме в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника находятся точечные заряды $q_1 = 1,0 \text{ нКл}$, $q_2 = 2,0 \text{ нКл}$ и $q_3 = 3,0 \text{ нКл}$ (рис. 117). Определите потенциал электростатического поля в середине гипотенузы, если ее длина $a = 20 \text{ см}$.

Рис. 117

Дано:

$q_1 = 1,0 \text{ нКл} = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = 2,0 \text{ нКл} = 2,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_3 = 3,0 \text{ нКл} = 3,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$a = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$\varphi$

Решение:

Потенциал электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов, в некоторой точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности (согласно принципу суперпозиции).

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 + \varphi_3$

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, вычисляется по формуле:

$\varphi = k \frac{q}{r}$

Определим расстояние от каждого заряда до середины гипотенузы (обозначим эту точку М).

Заряды $q_1$ и $q_3$ находятся в вершинах при гипотенузе. Расстояние от каждого из этих зарядов до середины гипотенузы равно половине длины гипотенузы:

$r_1 = r_3 = \frac{a}{2}$

Заряд $q_2$ находится в вершине прямого угла. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, расстояние от заряда $q_2$ до точки М также равно:

$r_2 = \frac{a}{2}$

Таким образом, все три заряда находятся на одинаковом расстоянии $r$ от искомой точки:

$r = r_1 = r_2 = r_3 = \frac{a}{2} = \frac{0,2 \text{ м}}{2} = 0,1 \text{ м}$

Теперь можно найти суммарный потенциал:

$\varphi = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2} + k \frac{q_3}{r_3} = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3)$

Выполним вычисления:

$q_1 + q_2 + q_3 = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} + 2,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} + 3,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 6,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$\varphi = \frac{9 \cdot 10^9}{0,1} \cdot (6,0 \cdot 10^{-9}) = 9 \cdot 10^{10} \cdot 6,0 \cdot 10^{-9} = 54 \cdot 10^1 = 540 \text{ В}$

Ответ: $540 \text{ В}$.