Номер 651, страница 142 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

651. Три точечных заряда $q_1 = 2,0 \text{ нКл}$, $q_2 = -1,0 \text{ нКл}$ и $q_3 = 2,0 \text{ нКл}$ находятся в вакууме в вершинах ромба, длина стороны которого $a = 30 \text{ см}$, острый угол $\alpha = 60^\circ$ (рис. 116). Определите потенциал поля в четвертой свободной вершине ромба.

Рис. 116

Дано:

$q_1 = 2,0 \text{ нКл} = 2,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -1,0 \text{ нКл} = -1,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_3 = 2,0 \text{ нКл} = 2,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$a = 30 \text{ см} = 0,30 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

$k = 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$\phi$ - потенциал в четвертой вершине ромба.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, потенциал электростатического поля, созданного системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

$\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3$

Потенциал $\phi_i$, создаваемый точечным зарядом $q_i$ на расстоянии $r_i$ от него, вычисляется по формуле:

$\phi_i = k \frac{q_i}{r_i}$

Таким образом, итоговый потенциал в четвертой вершине (обозначим ее точкой P) равен:

$\phi = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2} + k \frac{q_3}{r_3}$

где $r_1$, $r_2$ и $r_3$ — это расстояния от зарядов $q_1$, $q_2$ и $q_3$ до точки P.

Определим эти расстояния из геометрии ромба. Заряды $q_1$ и $q_3$ находятся в вершинах с острым углом $\alpha = 60^\circ$. Точка P и вершина с зарядом $q_2$ являются вершинами с тупыми углами.

1. Расстояние от заряда $q_1$ до точки P равно длине стороны ромба: $r_1 = a$.

2. Расстояние от заряда $q_3$ до точки P также равно длине стороны ромба: $r_3 = a$.

3. Расстояние от заряда $q_2$ до точки P равно длине большей диагонали ромба. Тупой угол ромба равен $180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Длину большей диагонали $r_2$ найдем по теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и этой диагональю:

$r_2^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда $r_2 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь подставим выражения для расстояний в формулу для потенциала:

$\phi = k \frac{q_1}{a} + k \frac{q_2}{a\sqrt{3}} + k \frac{q_3}{a}$

Сгруппируем слагаемые:

$\phi = \frac{k}{a} \left( q_1 + q_3 + \frac{q_2}{\sqrt{3}} \right)$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$\phi = \frac{9 \times 10^9}{0,30} \left( 2,0 \times 10^{-9} + 2,0 \times 10^{-9} + \frac{-1,0 \times 10^{-9}}{\sqrt{3}} \right)$

$\phi = 30 \times 10^9 \left( 4,0 \times 10^{-9} - \frac{1,0 \times 10^{-9}}{\sqrt{3}} \right)$

$\phi = 30 \times 10^9 \times 10^{-9} \left( 4,0 - \frac{1,0}{\sqrt{3}} \right)$

$\phi = 30 \left( 4,0 - \frac{1,0}{1,732} \right) \approx 30 (4,0 - 0,577) = 30 \times 3,423$

$\phi \approx 102,69 \text{ В}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $\phi \approx 103 \text{ В}$.

Ответ: потенциал поля в четвертой свободной вершине ромба составляет приблизительно $103 \text{ В}$.