Номер 647, страница 141 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

647. Электростатическое поле создано точечным зарядом. Потенциалы точек $A$ и $C$, расположенных на одной силовой линии, равны соответственно $\varphi_A = 30 \text{ В}$ и $\varphi_C = 10 \text{ В}$. Найдите потенциал точки $O$, лежащей на середине отрезка $AC$.

Дано:

Потенциал в точке A, $φ_A = 30$ В

Потенциал в точке C, $φ_C = 10$ В

Точка O – середина отрезка AC.

Найти:

Потенциал в точке O, $φ_O$ - ?

Решение:

Потенциал $\phi$ электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется по формуле:

$\phi = k \frac{q}{r}$

где $k$ – коэффициент пропорциональности (в СИ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$).

Так как точки A и C расположены на одной силовой линии, они лежат на одной прямой, проходящей через точечный заряд $q$. Обозначим расстояния от заряда $q$ до точек A и C как $r_A$ и $r_C$ соответственно. Тогда для потенциалов в этих точках можно записать:

$φ_A = k \frac{q}{r_A}$

$φ_C = k \frac{q}{r_C}$

Из этих выражений можно найти расстояния $r_A$ и $r_C$:

$r_A = k \frac{q}{φ_A}$

$r_C = k \frac{q}{φ_C}$

Поскольку $φ_A > φ_C$, и потенциалы положительны, можно сделать вывод, что заряд $q$ положителен, и точка A находится ближе к заряду, чем точка C ($r_A < r_C$). Следовательно, точки расположены на прямой в следующем порядке: заряд $q$, точка A, точка C.

Точка O является серединой отрезка AC. Ее расстояние от заряда $q$, обозначим его $r_O$, будет равно среднему арифметическому расстояний $r_A$ и $r_C$:

$r_O = \frac{r_A + r_C}{2}$

Подставим в это уравнение выражения для $r_A$ и $r_C$:

$r_O = \frac{1}{2} \left( k \frac{q}{φ_A} + k \frac{q}{φ_C} \right) = \frac{kq}{2} \left( \frac{1}{φ_A} + \frac{1}{φ_C} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$r_O = \frac{kq}{2} \left( \frac{φ_C + φ_A}{φ_A φ_C} \right)$

Потенциал в точке O равен:

$φ_O = k \frac{q}{r_O}$

Подставим в эту формулу полученное выражение для $r_O$:

$φ_O = k \frac{q}{\frac{kq}{2} \left( \frac{φ_A + φ_C}{φ_A φ_C} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \frac{φ_A + φ_C}{φ_A φ_C}} = \frac{2 φ_A φ_C}{φ_A + φ_C}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$φ_O = \frac{2 \cdot 30 \text{ В} \cdot 10 \text{ В}}{30 \text{ В} + 10 \text{ В}} = \frac{600}{40} \text{ В} = 15 \text{ В}$

Ответ: потенциал точки O равен 15 В.