Номер 654, страница 143 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

654. Электростатическое поле создано двумя равными положительными точечными зарядами, расположенными в вакууме в вершинах острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника, длина катета которого $a=20\sqrt{2}\text{ см}$. Определите потенциал электростатического поля в вершине прямого угла, если модуль напряженности поля в этой вершине $E=200 \frac{\text{В}}{\text{М}}$.

Дано:

$a = 20\sqrt{2}$ см

$E = 200 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$q_1 = q_2 = q > 0$

В системе СИ:

$a = 20\sqrt{2} \text{ см} = 20\sqrt{2} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.2\sqrt{2} \text{ м}$

Найти:

$\phi$

Решение:

Электростатическое поле создается двумя одинаковыми положительными зарядами $q$, расположенными в вершинах острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника. Мы ищем потенциал в вершине прямого угла. Расстояние от каждого заряда до этой точки равно длине катета $a$.

Напряженность поля в вершине прямого угла является векторной суммой напряженностей полей от каждого заряда: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{q}{a^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – электрическая постоянная.

Векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены вдоль катетов треугольника и, следовательно, перпендикулярны друг другу. Модуль результирующего вектора напряженности $E$ находится по теореме Пифагора:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(k \frac{q}{a^2})^2 + (k \frac{q}{a^2})^2} = \sqrt{2(k \frac{q}{a^2})^2} = k \frac{q}{a^2}\sqrt{2}$.

Потенциал поля в вершине прямого угла является скалярной суммой потенциалов, создаваемых каждым зарядом, так как потенциал — скалярная величина:

$\phi = \phi_1 + \phi_2$.

Потенциалы от каждого заряда равны:

$\phi_1 = \phi_2 = k \frac{q}{a}$.

Тогда суммарный потенциал равен:

$\phi = k \frac{q}{a} + k \frac{q}{a} = 2k \frac{q}{a}$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$E = k \frac{q}{a^2}\sqrt{2}$

$\phi = 2k \frac{q}{a}$

Выразим из второго уравнения величину $k \frac{q}{a} = \frac{\phi}{2}$ и подставим её в первое уравнение:

$E = \left(k \frac{q}{a}\right) \frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{\phi}{2} \frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{\phi\sqrt{2}}{2a}$.

Из этого соотношения выразим искомый потенциал $\phi$:

$\phi = \frac{2aE}{\sqrt{2}} = aE\sqrt{2}$.

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в системе СИ:

$\phi = (0.2\sqrt{2} \text{ м}) \cdot (200 \frac{\text{В}}{\text{м}}) \cdot \sqrt{2} = 0.2 \cdot 200 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \text{ В} = 40 \cdot 2 \text{ В} = 80 \text{ В}$.

Ответ: $80$ В.