Номер 660, страница 144 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

660. Шесть точечных зарядов $q_1 = q_2 = q_3 = 10 \text{ нКл}$ и $q_4 = q_5 = q_6 = -20 \text{ нКл}$ находятся в вакууме в вершинах правильного шестиугольника. Определите длину стороны шестиугольника, если в его центре потенциал поля $\varphi = -0,45 \text{ кВ}$.

Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = 10 \text{ нКл} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_4 = q_5 = q_6 = -20 \text{ нКл} = -20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$\phi = -0,45 \text{ кВ} = -0,45 \cdot 10^3 \text{ В} = -450 \text{ В}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$a$ — длина стороны шестиугольника.

Решение:

Заряды расположены в вершинах правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой из его вершин равно длине его стороны. Обозначим это расстояние как $r$, тогда $r = a$.

Потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, вычисляется по формуле:

$\phi_i = \frac{k q_i}{r_i}$

Согласно принципу суперпозиции полей, потенциал поля в центре шестиугольника равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из шести зарядов в этой точке:

$\phi = \sum_{i=1}^{6} \phi_i = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_4 + \phi_5 + \phi_6$

Поскольку расстояние от центра до всех вершин одинаково ($r_1 = r_2 = ... = r_6 = a$), формулу можно упростить:

$\phi = \frac{k}{a}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4 + q_5 + q_6)$

Найдем суммарный заряд $Q$:

$Q = 3 \cdot q_1 + 3 \cdot q_4 = 3 \cdot (10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) + 3 \cdot (-20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) = (30 - 60) \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = -30 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Теперь формула для потенциала в центре шестиугольника выглядит так:

$\phi = \frac{k Q}{a}$

Выразим из этой формулы искомую длину стороны $a$:

$a = \frac{k Q}{\phi}$

Подставим числовые значения и вычислим:

$a = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot (-30 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})}{-450 \text{ В}} = \frac{-270}{-450} \text{ м} = 0,6 \text{ м}$

Ответ: 0,6 м.