Номер 664, страница 144 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

664. Два точечных заряда $q_1 = 20 \text{ мкКл}$ и $q_2 = 30 \text{ мкКл}$ расположены в вакууме в вершинах $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD$, стороны которого $r_1 = 60 \text{ мм}$ и $r_2 = 80 \text{ мм}$ (рис. 122). Определите работу, совершенную силами электростатического поля при перемещении заряда $q = 4,0 \text{ нКл}$ из вершины $C$ в вершину $D$ прямоугольника.

Рис. 122

Дано:

Заряд $q_1 = 20$ мкКл
Заряд $q_2 = 30$ мкКл
Заряд $q = 4,0$ нКл
Сторона прямоугольника $r_1 = 60$ мм
Сторона прямоугольника $r_2 = 80$ мм

$q_1 = 20 \cdot 10^{-6}$ Кл
$q_2 = 30 \cdot 10^{-6}$ Кл
$q = 4,0 \cdot 10^{-9}$ Кл
$r_1 = 60 \cdot 10^{-3}$ м = $0,06$ м
$r_2 = 80 \cdot 10^{-3}$ м = $0,08$ м

Найти:

Работу электростатического поля $A$.

Решение:

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда $q$ из точки C в точку D, определяется разностью потенциалов в этих точках:

$A = q(\phi_C - \phi_D)$

где $\phi_C$ и $\phi_D$ – потенциалы электростатического поля, создаваемого зарядами $q_1$ и $q_2$ в точках C и D соответственно. Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Электрическая постоянная $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

Потенциал в точке C равен сумме потенциалов от зарядов $q_1$ (в точке A) и $q_2$ (в точке B):

$\phi_C = \phi_{1C} + \phi_{2C} = k \frac{q_1}{r_{AC}} + k \frac{q_2}{r_{BC}}$

Потенциал в точке D также равен сумме потенциалов от зарядов $q_1$ и $q_2$:

$\phi_D = \phi_{1D} + \phi_{2D} = k \frac{q_1}{r_{AD}} + k \frac{q_2}{r_{BD}}$

Из геометрии прямоугольника ABCD найдем расстояния от зарядов до точек C и D:
Расстояние от B до C: $r_{BC} = r_2$.
Расстояние от A до D: $r_{AD} = r_2$.
Расстояния от A до C ($r_{AC}$) и от B до D ($r_{BD}$) — это диагонали прямоугольника. Они равны и находятся по теореме Пифагора:
$r_{AC} = r_{BD} = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$

Подставим выражения для потенциалов в формулу для работы:

$A = q \left( \left( k \frac{q_1}{r_{AC}} + k \frac{q_2}{r_{BC}} \right) - \left( k \frac{q_1}{r_{AD}} + k \frac{q_2}{r_{BD}} \right) \right)$

Заменим расстояния их выражениями через $r_1$ и $r_2$ и вынесем $k$ за скобку:

$A = qk \left( \left( \frac{q_1}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2}} + \frac{q_2}{r_2} \right) - \left( \frac{q_1}{r_2} + \frac{q_2}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2}} \right) \right)$

Сгруппируем слагаемые:

$A = qk \left( \frac{q_1 - q_2}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2}} + \frac{q_2 - q_1}{r_2} \right) = qk \left( \frac{q_1 - q_2}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2}} - \frac{q_1 - q_2}{r_2} \right)$

Вынесем общий множитель $(q_1 - q_2)$:

$A = qk(q_1 - q_2) \left( \frac{1}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2}} - \frac{1}{r_2} \right)$

Теперь выполним вычисления. Сначала найдем длину диагонали:

$\sqrt{r_1^2 + r_2^2} = \sqrt{(0,06 \text{ м})^2 + (0,08 \text{ м})^2} = \sqrt{0,0036 \text{ м}^2 + 0,0064 \text{ м}^2} = \sqrt{0,01 \text{ м}^2} = 0,1$ м

Подставим числовые значения в итоговую формулу для работы:

$A = 4,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} - 30 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot \left( \frac{1}{0,1 \text{ м}} - \frac{1}{0,08 \text{ м}} \right)$

$A = 36 \cdot (-10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (10 \text{ м}^{-1} - 12,5 \text{ м}^{-1})$

$A = 36 \cdot (-10^{-5} \text{ Кл}) \cdot (-2,5 \text{ м}^{-1})$

$A = 36 \cdot 2,5 \cdot 10^{-5}$ Дж = $90 \cdot 10^{-5}$ Дж = $9 \cdot 10^{-4}$ Дж

Ответ: работа, совершенная силами электростатического поля, равна $9 \cdot 10^{-4}$ Дж (или 900 мкДж).