Номер 661, страница 144 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

661. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно переместить в вакууме точечный заряд $q$ из точки $A$ в точку $B$, расположенные в электростатическом поле, созданном двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$ (рис. 120)? Все заряды являются одноименными.

Рис. 120

Дано:

Точечные заряды: $q$, $q_1$, $q_2$ (одноименные)

Расстояние между $q_1$ и $q_2$: $l$

Расстояние между $q_2$ и точкой $B$: $2l$

Расстояние между точкой $B$ и точкой $A$: $l$

Среда: вакуум

Электрическая постоянная: $\varepsilon_0$

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$

Найти:

Работу $A$ по перемещению заряда $q$ из точки $A$ в точку $B$.

Решение:

Работа, которую совершает внешняя сила при медленном перемещении заряда $q$ из начальной точки $A$ в конечную точку $B$ в электростатическом поле, равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов между конечной и начальной точками:

$A = q(\phi_B - \phi_A)$

где $\phi_A$ и $\phi_B$ – потенциалы электростатического поля в точках $A$ и $B$ соответственно.

Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов $q_1$ и $q_2$, определяется по принципу суперпозиции и равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Потенциал точечного заряда $Q$ на расстоянии $r$ от него в вакууме равен $\phi = k \frac{Q}{r}$.

Сначала определим потенциал в начальной точке $A$. Для этого найдем расстояния от зарядов $q_1$ и $q_2$ до точки $A$, используя данные с рисунка:

Расстояние от $q_1$ до $A$: $r_{1A} = l + 2l + l = 4l$

Расстояние от $q_2$ до $A$: $r_{2A} = 2l + l = 3l$

Теперь можем рассчитать потенциал в точке $A$:

$\phi_A = \phi_{1A} + \phi_{2A} = k\frac{q_1}{r_{1A}} + k\frac{q_2}{r_{2A}} = k\frac{q_1}{4l} + k\frac{q_2}{3l}$

Далее определим потенциал в конечной точке $B$. Найдем расстояния от зарядов $q_1$ и $q_2$ до точки $B$:

Расстояние от $q_1$ до $B$: $r_{1B} = l + 2l = 3l$

Расстояние от $q_2$ до $B$: $r_{2B} = 2l$

Рассчитаем потенциал в точке $B$:

$\phi_B = \phi_{1B} + \phi_{2B} = k\frac{q_1}{r_{1B}} + k\frac{q_2}{r_{2B}} = k\frac{q_1}{3l} + k\frac{q_2}{2l}$

Теперь подставим выражения для потенциалов $\phi_A$ и $\phi_B$ в формулу для работы:

$A = q \left[ \left(k\frac{q_1}{3l} + k\frac{q_2}{2l}\right) - \left(k\frac{q_1}{4l} + k\frac{q_2}{3l}\right) \right]$

Вынесем общий множитель $\frac{k}{l}$ за скобки:

$A = \frac{kq}{l} \left[ \left(\frac{q_1}{3} + \frac{q_2}{2}\right) - \left(\frac{q_1}{4} + \frac{q_2}{3}\right) \right]$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $q_1$ и $q_2$:

$A = \frac{kq}{l} \left[ \left(\frac{q_1}{3} - \frac{q_1}{4}\right) + \left(\frac{q_2}{2} - \frac{q_2}{3}\right) \right]$

Приведем дроби в каждой скобке к общему знаменателю:

$A = \frac{kq}{l} \left[ \left(\frac{4q_1 - 3q_1}{12}\right) + \left(\frac{3q_2 - 2q_2}{6}\right) \right]$

$A = \frac{kq}{l} \left( \frac{q_1}{12} + \frac{q_2}{6} \right)$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю 12:

$A = \frac{kq}{l} \left( \frac{q_1 + 2q_2}{12} \right)$

Таким образом, итоговое выражение для работы:

$A = \frac{kq(q_1 + 2q_2)}{12l}$

Если подставить выражение для коэффициента $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, получим:

$A = \frac{q(q_1 + 2q_2)}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 12l} = \frac{q(q_1 + 2q_2)}{48\pi\varepsilon_0l}$

Поскольку по условию все заряды одноименные (например, все положительные), то работа $A$ будет положительной. Это логично, так как заряд $q$ перемещается ближе к отталкивающим его зарядам $q_1$ и $q_2$, и внешняя сила должна совершать работу против сил электростатического отталкивания.

Ответ: $A = \frac{kq(q_1 + 2q_2)}{12l}$ или, что то же самое, $A = \frac{q(q_1 + 2q_2)}{48\pi\varepsilon_0l}$.