Номер 668, страница 146 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

668. Частица зарядом $q$ и массой $m$ под действием силы однородного электростатического поля переместилась из точки, потенциал которой $\varphi_1$, в точку, потенциал которой $\varphi_2$. При этом кинетическая энергия частицы увеличилась в $k$ раз. Определите модуль начальной и конечной скорости движения частицы. Силой тяжести пренебречь.

Дано:

Заряд частицы: $q$

Масса частицы: $m$

Начальный потенциал: $\phi_1$

Конечный потенциал: $\phi_2$

Коэффициент увеличения кинетической энергии: $k$ ($E_{k2} = k \cdot E_{k1}$)

Найти:

Начальная скорость: $v_1$

Конечная скорость: $v_2$

Решение:

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа $A$, совершаемая силами электростатического поля, равна изменению кинетической энергии частицы $\Delta E_k$.

$A = \Delta E_k$

Работа электростатического поля при перемещении заряда $q$ из точки с потенциалом $\phi_1$ в точку с потенциалом $\phi_2$ определяется формулой:

$A = q(\phi_1 - \phi_2)$

Изменение кинетической энергии равно разности конечной ($E_{k2}$) и начальной ($E_{k1}$) кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Объединяя эти выражения, получаем:

$q(\phi_1 - \phi_2) = E_{k2} - E_{k1}$

По условию задачи, кинетическая энергия частицы увеличилась в $k$ раз, следовательно:

$E_{k2} = k \cdot E_{k1}$

Подставим это соотношение в уравнение теоремы о кинетической энергии:

$q(\phi_1 - \phi_2) = k \cdot E_{k1} - E_{k1} = (k-1)E_{k1}$

Из этого уравнения выразим начальную кинетическую энергию $E_{k1}$:

$E_{k1} = \frac{q(\phi_1 - \phi_2)}{k-1}$

Начальная кинетическая энергия связана с модулем начальной скорости $v_1$ соотношением $E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2}$. Приравняем два выражения для $E_{k1}$:

$\frac{mv_1^2}{2} = \frac{q(\phi_1 - \phi_2)}{k-1}$

Отсюда находим квадрат начальной скорости:

$v_1^2 = \frac{2q(\phi_1 - \phi_2)}{m(k-1)}$

И сам модуль начальной скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{2q(\phi_1 - \phi_2)}{m(k-1)}}$

Теперь найдем конечную скорость. Конечная кинетическая энергия $E_{k2} = k \cdot E_{k1}$. Подставим найденное выражение для $E_{k1}$:

$E_{k2} = k \cdot \frac{q(\phi_1 - \phi_2)}{k-1} = \frac{kq(\phi_1 - \phi_2)}{k-1}$

Конечная кинетическая энергия также связана с модулем конечной скорости $v_2$ соотношением $E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$. Приравняем выражения для $E_{k2}$:

$\frac{mv_2^2}{2} = \frac{kq(\phi_1 - \phi_2)}{k-1}$

Отсюда находим квадрат конечной скорости:

$v_2^2 = \frac{2kq(\phi_1 - \phi_2)}{m(k-1)}$

И модуль конечной скорости:

$v_2 = \sqrt{\frac{2kq(\phi_1 - \phi_2)}{m(k-1)}}$

Ответ: начальная скорость $v_1 = \sqrt{\frac{2q(\phi_1 - \phi_2)}{m(k-1)}}$, конечная скорость $v_2 = \sqrt{\frac{2kq(\phi_1 - \phi_2)}{m(k-1)}}$.