Номер 673, страница 147 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

673. *Три точечных заряда $q = 1,0 \text{ нКл}$ каждый расположены в вакууме вдоль прямой на расстоянии $a = 45 \text{ см}$ друг от друга. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы разместить эти заряды в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$?

Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = q = 1,0 \text{ нКл} = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$a = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м}$

$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент в законе Кулона)

Найти:

$A$ - минимальную работу.

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить внешним силам для изменения конфигурации системы зарядов, равна изменению потенциальной энергии этой системы. По теореме о потенциальной энергии, работа внешних сил $A$ равна разности конечной ($W_2$) и начальной ($W_1$) потенциальных энергий системы.

$A = W_2 - W_1$

Потенциальная энергия системы, состоящей из нескольких точечных зарядов, равна алгебраической сумме потенциальных энергий взаимодействия всех возможных пар зарядов.

1. Вычислим начальную потенциальную энергию системы $W_1$.

В начальном состоянии три заряда ($q_1, q_2, q_3$) расположены на одной прямой на расстоянии $a$ друг от друга. Пусть $q_1$ находится в начале координат, $q_2$ в точке с координатой $a$, а $q_3$ в точке с координатой $2a$.

Тогда расстояния между парами зарядов равны:

$r_{12} = a$

$r_{23} = a$

$r_{13} = 2a$

Начальная потенциальная энергия системы равна сумме энергий взаимодействия трех пар:

$W_1 = W_{12} + W_{23} + W_{13} = \frac{k q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{k q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{k q_1 q_3}{r_{13}}$

Поскольку $q_1 = q_2 = q_3 = q$, формула упрощается:

$W_1 = \frac{k q^2}{a} + \frac{k q^2}{a} + \frac{k q^2}{2a} = 2\frac{k q^2}{a} + \frac{1}{2}\frac{k q^2}{a} = \frac{5}{2}\frac{k q^2}{a}$

2. Вычислим конечную потенциальную энергию системы $W_2$.

В конечном состоянии заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$. В этом случае расстояние между любой парой зарядов одинаково и равно $a$.

$r'_{12} = a, r'_{23} = a, r'_{13} = a$

Конечная потенциальная энергия системы:

$W_2 = W'_{12} + W'_{23} + W'_{13} = \frac{k q^2}{a} + \frac{k q^2}{a} + \frac{k q^2}{a} = 3\frac{k q^2}{a}$

3. Найдем минимальную работу $A$.

$A = W_2 - W_1 = 3\frac{k q^2}{a} - \frac{5}{2}\frac{k q^2}{a} = \left(3 - \frac{5}{2}\right)\frac{k q^2}{a} = \left(\frac{6}{2} - \frac{5}{2}\right)\frac{k q^2}{a} = \frac{1}{2}\frac{k q^2}{a}$

4. Подставим числовые значения в полученную формулу.

$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})^2}{0,45 \text{ м}} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 1,0 \cdot 10^{-18}}{2 \cdot 0,45} \text{ Дж}$

$A = \frac{9 \cdot 10^{-9}}{0,9} \text{ Дж} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Дж} = 10 \text{ нДж}$

Ответ: $10 \text{ нДж}$.