Номер 679, страница 148 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

679. *Два маленьких шарика массой $m = 15 \text{ г}$ каждый, лежащие в вакууме на гладкой непроводящей горизонтальной плоскости, соединены недеформированной легкой непроводящей пружиной длиной $l_0 = 24 \text{ см}$ и жесткостью $k_{\text{пр}} = 1,0 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. После сообщения шарикам зарядов одного знака длина пружины стала $l = 2l_0$. Определите модуль минимального одинакового импульса, который надо одновременно сообщить каждому шарику навстречу друг другу, чтобы они сблизились до прежнего расстояния.

Дано

$m = 15 \text{ г} = 0.015 \text{ кг}$
$l_0 = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$
$k_{пр} = 1.0 \text{ Н/м}$
$l = 2l_0$

Найти:

$p$ - ?

Решение

1. Рассмотрим состояние равновесия системы после сообщения шарикам зарядов $q$ одного знака. Расстояние между шариками стало $l = 2l_0$. В этом положении сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу электростатического отталкивания $F_C$.

Сила упругости по закону Гука: $F_{упр} = k_{пр} \cdot \Delta l = k_{пр} \cdot (l - l_0) = k_{пр} \cdot (2l_0 - l_0) = k_{пр} l_0$.

Сила электростатического отталкивания по закону Кулона: $F_C = \frac{k q^2}{l^2} = \frac{k q^2}{(2l_0)^2}$, где $k$ – электростатическая постоянная.

Из условия равновесия $F_{упр} = F_C$:

$k_{пр} l_0 = \frac{k q^2}{4l_0^2}$

Отсюда выразим величину $k q^2$, которая понадобится в дальнейшем:

$k q^2 = 4 k_{пр} l_0^3$

2. Теперь рассмотрим процесс сближения шариков после сообщения им одинаковых по модулю и противоположных по направлению импульсов $p$. Система является замкнутой, поэтому для нее выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия системы $E$ складывается из кинетической энергии шариков $E_k$, потенциальной энергии пружины $E_{p,пр}$ и потенциальной энергии электростатического взаимодействия зарядов $E_{p,C}$.

Запишем закон сохранения энергии для двух состояний:

Состояние 1: начальный момент после сообщения импульсов. Расстояние между шариками $l = 2l_0$. Скорость каждого шарика $v_0 = p/m$.

Состояние 2: момент максимального сближения. Расстояние между шариками равно $l_0$. Чтобы импульс был минимальным, в этой точке шарики должны остановиться, то есть их скорости равны нулю ($v=0$).

$E_1 = E_2$

$E_{k1} + E_{p,пр1} + E_{p,C1} = E_{k2} + E_{p,пр2} + E_{p,C2}$

Вычислим энергию для каждого состояния:

$E_{k1} = 2 \cdot \frac{m v_0^2}{2} = m v_0^2 = m \left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{p^2}{m}$

$E_{p,пр1} = \frac{k_{пр}(\Delta l)^2}{2} = \frac{k_{пр}(l - l_0)^2}{2} = \frac{k_{пр} l_0^2}{2}$

$E_{p,C1} = \frac{k q^2}{l} = \frac{k q^2}{2l_0}$

$E_{k2} = 0$ (так как $v=0$)

$E_{p,пр2} = 0$ (пружина не деформирована)

$E_{p,C2} = \frac{k q^2}{l_0}$

Подставляем эти выражения в закон сохранения энергии:

$\frac{p^2}{m} + \frac{k_{пр} l_0^2}{2} + \frac{k q^2}{2l_0} = \frac{k q^2}{l_0}$

Выразим $p^2/m$:

$\frac{p^2}{m} = \frac{k q^2}{l_0} - \frac{k q^2}{2l_0} - \frac{k_{пр} l_0^2}{2} = \frac{k q^2}{2l_0} - \frac{k_{пр} l_0^2}{2}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $k q^2 = 4 k_{пр} l_0^3$:

$\frac{p^2}{m} = \frac{4 k_{пр} l_0^3}{2l_0} - \frac{k_{пр} l_0^2}{2} = 2 k_{пр} l_0^2 - \frac{1}{2} k_{пр} l_0^2 = \frac{3}{2} k_{пр} l_0^2$

Отсюда находим модуль импульса $p$:

$p = \sqrt{\frac{3}{2} m k_{пр} l_0^2} = l_0 \sqrt{\frac{3}{2} m k_{пр}}$

Подставим числовые значения:

$p = 0.24 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} \cdot 0.015 \cdot 1.0} = 0.24 \cdot \sqrt{1.5 \cdot 0.015} = 0.24 \cdot \sqrt{0.0225} = 0.24 \cdot 0.15 = 0.036 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: $p = 0.036 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.