Номер 676, страница 147 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

676. *Двум электронам, находящимся в вакууме на большом расстоянии друг от друга, одновременно сообщают скорости, направленные навстречу друг другу. На какое минимальное расстояние смогут приблизиться электроны, если модуль начальной скорости, сообщенной каждому электрону, $v_0$?

Дано:

Два электрона

Заряд электрона: $q_1 = q_2 = -e$

Масса электрона: $m_1 = m_2 = m_e$

Модуль начальной скорости каждого электрона: $v_0$

Начальное расстояние между электронами: $r_1 \to \infty$

Скорости направлены навстречу друг другу.

Найти:

Минимальное расстояние сближения электронов $r_{min}$

Решение:

Так как электроны находятся в вакууме и на них не действуют другие внешние силы, систему из двух электронов можно считать замкнутой. Сила электростатического отталкивания, действующая между электронами, является консервативной. Поэтому для данной системы справедлив закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы состоит из суммарной кинетической энергии двух электронов и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия.

Рассмотрим начальное и конечное состояния системы.

1. В начальный момент времени электроны находятся на очень большом расстоянии друг от друга ($r_1 \to \infty$). Потенциальная энергия их взаимодействия обратно пропорциональна расстоянию, поэтому при $r_1 \to \infty$ она стремится к нулю:

$E_{p1} = k \frac{(-e)(-e)}{r_1} = k \frac{e^2}{r_1} \approx 0$

где $k$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $e$ – элементарный заряд.

Каждый электрон имеет массу $m_e$ и движется со скоростью $v_0$. Суммарная кинетическая энергия системы в начальный момент времени равна:

$E_{k1} = \frac{m_e v_0^2}{2} + \frac{m_e v_0^2}{2} = m_e v_0^2$

Полная начальная энергия системы равна:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = m_e v_0^2 + 0 = m_e v_0^2$

2. В конечный момент времени электроны сближаются на минимальное расстояние $r_{min}$. В этот момент их относительная скорость равна нулю. Поскольку система симметрична (массы и модули начальных скоростей одинаковы), а начальный суммарный импульс системы равен нулю ($\vec{p}_1 = m_e\vec{v}_0 + m_e(-\vec{v}_0) = 0$), то из закона сохранения импульса следует, что в момент наибольшего сближения скорости обоих электронов становятся равными нулю. Таким образом, вся начальная кинетическая энергия системы переходит в потенциальную энергию их взаимодействия.

Кинетическая энергия системы в этот момент равна нулю:

$E_{k2} = 0$

Потенциальная энергия взаимодействия электронов на расстоянии $r_{min}$ равна:

$E_{p2} = k \frac{e^2}{r_{min}}$

Полная конечная энергия системы равна:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = 0 + k \frac{e^2}{r_{min}} = k \frac{e^2}{r_{min}}$

3. Согласно закону сохранения энергии, полная начальная энергия системы равна полной конечной энергии:

$E_1 = E_2$

$m_e v_0^2 = k \frac{e^2}{r_{min}}$

Из этого соотношения выражаем искомое минимальное расстояние $r_{min}$:

$r_{min} = \frac{k e^2}{m_e v_0^2}$

Постоянную $k$ можно выразить через электрическую постоянную $\epsilon_0$: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$. Тогда формула примет вид:

$r_{min} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e v_0^2}$

Ответ: Минимальное расстояние, на которое смогут приблизиться электроны, равно $r_{min} = \frac{k e^2}{m_e v_0^2}$, или в другой форме $r_{min} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e v_0^2}$.