Номер 682, страница 149 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

682. *Две маленькие шайбы массой $m = 5,0$ г каждая, заряженные одинаковым зарядом $q = 1,0$ мкКл, находятся на горизонтальной плоскости на расстоянии $l = 1,0$ м друг от друга. Коэффициент трения шайб о плоскость $\mu = 0,50$. Определите модуль минимальной начальной скорости, которую надо сообщить одной из шайб, чтобы сдвинуть с места другую.

Дано:

$m = 5,0 \text{ г}$

$q = 1,0 \text{ мкКл}$

$l = 1,0 \text{ м}$

$\mu = 0,50$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$m = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$q = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$v_0$ - минимальная начальная скорость.

Решение:

Обозначим шайбы как 1 и 2. Шайбе 1 сообщают начальную скорость $v_0$ в направлении шайбы 2, которая покоится. Шайба 2 начнёт движение, когда сила электростатического отталкивания $F_e$, действующая на неё со стороны шайбы 1, превысит или станет равна максимальной силе трения покоя $F_{fr,max}$.

Сила электростатического отталкивания (закон Кулона):

$F_e = k \frac{q^2}{r^2}$

где $r$ – расстояние между шайбами.

Максимальная сила трения покоя на горизонтальной поверхности:

$F_{fr,max} = \mu N = \mu mg$

Условие начала движения шайбы 2: $F_e \ge F_{fr,max}$. Минимальная сила, достаточная для сдвига, соответствует равенству. Это произойдёт на некотором минимальном расстоянии сближения $r_{min}$:

$k \frac{q^2}{r_{min}^2} = \mu mg$

Отсюда найдем квадрат этого критического расстояния:

$r_{min}^2 = \frac{k q^2}{\mu mg} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1.0 \cdot 10^{-6})^2}{0.50 \cdot 5.0 \cdot 10^{-3} \cdot 10} = \frac{9 \cdot 10^{-3}}{2.5 \cdot 10^{-2}} = 0.36 \text{ м}^2$

Следовательно, $r_{min} = \sqrt{0.36} = 0.6 \text{ м}$.

Минимальная начальная скорость $v_0$ — это такая скорость, при которой шайба 1 остановится точно на расстоянии $r_{min}$ от шайбы 2. Для нахождения этой скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии для шайбы 1. Изменение кинетической энергии равно суммарной работе всех действующих на неё сил (силы трения $F_{fr}$ и силы Кулона $F_e$).

$\Delta K = W_{fr} + W_{e}$

Изменение кинетической энергии: $\Delta K = K_{конечная} - K_{начальная} = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2$.

Работа силы трения на пути $(l - r_{min})$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения:

$W_{fr} = -F_{fr} \cdot (l - r_{min}) = -\mu mg(l - r_{min})$

Работа силы Кулона при сближении одноименных зарядов также отрицательна и равна изменению потенциальной энергии со знаком минус:

$W_{e} = -(U_{конечная} - U_{начальная}) = U(l) - U(r_{min}) = k\frac{q^2}{l} - k\frac{q^2}{r_{min}}$

Подставим все в теорему об изменении кинетической энергии:

$-\frac{1}{2}mv_0^2 = -\mu mg(l - r_{min}) + k\frac{q^2}{l} - k\frac{q^2}{r_{min}}$

Домножим на -1:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \mu mg(l - r_{min}) - k\frac{q^2}{l} + k\frac{q^2}{r_{min}}$

Подставим ранее найденное выражение $\mu mg = k\frac{q^2}{r_{min}^2}$:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = k\frac{q^2}{r_{min}^2}(l - r_{min}) - k\frac{q^2}{l} + k\frac{q^2}{r_{min}} = \frac{kq^2 l}{r_{min}^2} - \frac{kq^2}{r_{min}} - \frac{kq^2}{l} + \frac{kq^2}{r_{min}}$

После сокращения получаем:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{kq^2 l}{r_{min}^2} - \frac{kq^2}{l} = kq^2 \left( \frac{l}{r_{min}^2} - \frac{1}{l} \right)$

Подставим числовые значения:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = 9 \cdot 10^9 \cdot (1.0 \cdot 10^{-6})^2 \left( \frac{1.0}{0.36} - \frac{1}{1.0} \right) = 9 \cdot 10^{-3} \left( \frac{1}{0.36} - 1 \right)$

$\frac{1}{2}mv_0^2 = 9 \cdot 10^{-3} \left( \frac{1 - 0.36}{0.36} \right) = 9 \cdot 10^{-3} \left( \frac{0.64}{0.36} \right) = 9 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{16}{9} = 16 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Теперь найдем $v_0$:

$v_0^2 = \frac{2 \cdot (16 \cdot 10^{-3})}{m} = \frac{32 \cdot 10^{-3}}{5.0 \cdot 10^{-3}} = \frac{32}{5} = 6.4 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$

$v_0 = \sqrt{6.4} \approx 2.53 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

С учётом значащих цифр (два знака) в исходных данных:

$v_0 \approx 2.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: минимальная начальная скорость, которую надо сообщить одной из шайб, равна $2.5 \text{ м/с}$.