Номер 687, страница 150 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

687. *Двум маленьким шарикам, массы и заряды которых $m_1 = 2,0$ г, $m_2 = 3,0$ г и $q_1 = 3,0$ мкКл, $q_2 = -12$ мкКл соответственно, сообщили противоположно направленные скорости. И шарики стали удаляться друг от друга. В некоторый момент времени, когда расстояние между шариками стало $l = 10$ м, они приобрели скорости, модули которых $v_1 = v_2 = 3,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Определите максимальное расстояние, на которое смогут удалиться шарики друг от друга.

Дано:

$m_1 = 2,0 \text{ г}$

$m_2 = 3,0 \text{ г}$

$q_1 = 3,0 \text{ мкКл}$

$q_2 = -12 \text{ мкКл}$

$l = 10 \text{ м}$

$v_1 = v_2 = v = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 2,0 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$m_2 = 3,0 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$q_1 = 3,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$q_2 = -12 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$L_{max}$

Решение:

Так как на систему из двух шариков действуют только внутренние консервативные силы (электростатические силы взаимодействия), то для этой системы выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия системы состоит из суммы кинетических энергий шариков и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия.

Запишем закон сохранения энергии для двух состояний системы:

1. Состояние, описанное в условии: расстояние между шариками $l$, скорости шариков $v_1$ и $v_2$.

2. Состояние в момент максимального удаления: расстояние между шариками $L_{max}$, скорости шариков равны нулю ($v_{1f} = v_{2f} = 0$), так как сила притяжения между разноименно заряженными шариками затормозит их до полной остановки, после чего они начнут сближаться.

Закон сохранения энергии: $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

Полная энергия в начальном состоянии:

$E_1 = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{l}$

Полная энергия в конечном состоянии (при максимальном удалении):

$E_2 = \frac{m_1 v_{1f}^2}{2} + \frac{m_2 v_{2f}^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{L_{max}} = 0 + 0 + \frac{k q_1 q_2}{L_{max}}$

Приравнивая энергии, получаем:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{l} = \frac{k q_1 q_2}{L_{max}}$

Вычислим полную энергию системы в начальном состоянии. Постоянная Кулона $k \approx 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Суммарная кинетическая энергия:

$E_{k1} = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = \frac{(2,0 \times 10^{-3} \text{ кг} + 3,0 \times 10^{-3} \text{ кг}) \times (3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2} = \frac{5,0 \times 10^{-3} \times 9,0}{2} = 0,0225 \text{ Дж}$

Потенциальная энергия:

$E_{p1} = \frac{k q_1 q_2}{l} = \frac{9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \times (3,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) \times (-12 \times 10^{-6} \text{ Кл})}{10 \text{ м}} = -0,0324 \text{ Дж}$

Полная энергия системы (которая сохраняется):

$E = E_{k1} + E_{p1} = 0,0225 \text{ Дж} - 0,0324 \text{ Дж} = -0,0099 \text{ Дж}$

Теперь приравняем эту энергию к энергии в конечном состоянии:

$E = \frac{k q_1 q_2}{L_{max}}$

$-0,0099 \text{ Дж} = \frac{k q_1 q_2}{L_{max}}$

Выразим $L_{max}$:

$L_{max} = \frac{k q_1 q_2}{E} = \frac{-0,324 \text{ Дж} \cdot \text{м}}{-0,0099 \text{ Дж}} = \frac{324}{99} = \frac{36}{11} \approx 32,73 \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных.

$L_{max} \approx 33 \text{ м}$

Ответ: Максимальное расстояние, на которое смогут удалиться шарики друг от друга, составляет примерно 33 м.