Номер 690, страница 151 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

690. Электрон влетает в однородное электростатическое поле напряженностью $\vec{E}$ со скоростью $\vec{v_0}$, направленной перпендикулярно линиям поля. Определите кинетическую энергию электрона через время $t$ после того, как он попадает в это поле.

Дано:

Электрон (заряд $q = -e$, масса $m_e$)

Однородное электростатическое поле напряженностью $\vec{E}$

Начальная скорость $\vec{v_0}$

Вектор начальной скорости перпендикулярен вектору напряженности: $\vec{v_0} \perp \vec{E}$

Время движения $t$

Найти:

Кинетическую энергию электрона $K$ через время $t$.

Решение:

На электрон в однородном электростатическом поле действует постоянная сила Кулона $\vec{F} = q\vec{E}$. Поскольку заряд электрона $q = -e$ (где $e$ - элементарный заряд), сила равна:

$\vec{F} = -e\vec{E}$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону постоянное ускорение $\vec{a}$:

$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_e} = -\frac{e\vec{E}}{m_e}$

где $m_e$ - масса электрона.

Скорость электрона в момент времени $t$ определяется по формуле для равноускоренного движения:

$\vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a}t$

где $\vec{v_0}$ - начальная скорость.

Кинетическая энергия $K$ в момент времени $t$ равна:

$K = \frac{m_e v^2}{2} = \frac{m_e (\vec{v} \cdot \vec{v})}{2}$

Найдем квадрат модуля скорости, используя скалярное произведение вектора скорости на самого себя:

$v^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = (\vec{v_0} + \vec{a}t) \cdot (\vec{v_0} + \vec{a}t)$

Раскрывая скобки, получаем:

$v^2 = \vec{v_0} \cdot \vec{v_0} + 2(\vec{v_0} \cdot \vec{a})t + (\vec{a} \cdot \vec{a})t^2 = v_0^2 + 2(\vec{v_0} \cdot \vec{a})t + a^2t^2$

По условию задачи, начальная скорость $\vec{v_0}$ перпендикулярна вектору напряженности поля $\vec{E}$ ($\vec{v_0} \perp \vec{E}$). Так как вектор ускорения $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{E}$, то вектор $\vec{v_0}$ также перпендикулярен вектору $\vec{a}$ ($\vec{v_0} \perp \vec{a}$). Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:

$\vec{v_0} \cdot \vec{a} = 0$

Следовательно, выражение для квадрата скорости упрощается:

$v^2 = v_0^2 + a^2t^2$

Модуль ускорения равен:

$a = |\vec{a}| = \left|-\frac{e\vec{E}}{m_e}\right| = \frac{e|\vec{E}|}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$

Подставим модуль ускорения в выражение для $v^2$:

$v^2 = v_0^2 + \left(\frac{eE}{m_e}\right)^2 t^2 = v_0^2 + \frac{e^2E^2t^2}{m_e^2}$

Теперь можем найти кинетическую энергию электрона в момент времени $t$:

$K = \frac{m_e v^2}{2} = \frac{m_e}{2} \left(v_0^2 + \frac{e^2E^2t^2}{m_e^2}\right)$

$K = \frac{m_e v_0^2}{2} + \frac{m_e}{2} \cdot \frac{e^2E^2t^2}{m_e^2} = \frac{m_e v_0^2}{2} + \frac{e^2E^2t^2}{2m_e}$

Первое слагаемое в этой формуле, $\frac{m_e v_0^2}{2}$, представляет собой начальную кинетическую энергию электрона, а второе слагаемое - это работа, совершенная электрическим полем, которая пошла на увеличение кинетической энергии.

Ответ: $K = \frac{m_e v_0^2}{2} + \frac{e^2E^2t^2}{2m_e}$.