Номер 686, страница 149 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

686. *На расстоянии $l_0 = 1,0$ м от закрепленного точечного заряда $q_1 = -0,1$ мкКл расположен в вакууме другой точечный заряд массой $m = 0,1$ г и зарядом $q_2 = 2$ мкКл (рис. 126). Заряды находятся во внешнем однородном электростатическом поле, модуль напряженности которого $E=100 \frac{\text{В}}{\text{м}}$. Определите модуль минимальной скорости, которую надо сообщить второму заряду в направлении силовых линий внешнего поля, чтобы он улетел в бесконечность.

Рис. 126

Дано:

$l_0 = 1,0 \text{ м}$

$q_1 = -0,1 \text{ мкКл}$

$m = 0,1 \text{ г}$

$q_2 = 2 \text{ мкКл}$

$E = 100 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:

$q_1 = -0,1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = -1 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

$m = 0,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 10^{-4} \text{ кг}$

$q_2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$E = 100 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Найти:

$v_{min}$

Решение:

На заряд $q_2$ действуют две силы в горизонтальном направлении: сила притяжения к отрицательному заряду $q_1$ (сила Кулона) и сила со стороны внешнего однородного электростатического поля. Направим ось Ох вправо, вдоль силовых линий внешнего поля. Начало координат поместим в точку расположения заряда $q_1$. Тогда начальная координата заряда $q_2$ будет $x_0 = l_0$.

Сила Кулона $F_k$ направлена влево (к заряду $q_1$), ее проекция на ось Ох отрицательна: $F_{kx} = -\frac{k|q_1|q_2}{x^2}$.

Сила со стороны внешнего поля $F_E$ направлена вправо (т.к. $q_2 > 0$), ее проекция на ось Ох положительна: $F_{Ex} = q_2 E$.

Результирующая сила, действующая на заряд $q_2$, равна: $F(x) = F_{Ex} + F_{kx} = q_2 E - \frac{k|q_1|q_2}{x^2}$.

Для того чтобы заряд $q_2$ улетел на бесконечность, ему необходимо преодолеть "потенциальный барьер". Этот барьер соответствует точке, где результирующая сила, действующая на заряд, равна нулю. В этой точке притяжение со стороны $q_1$ уравновешивается отталкиванием со стороны поля $E$. Найдем координату этой точки $x_c$:

$F(x_c) = 0 \implies q_2 E = \frac{k|q_1|q_2}{x_c^2}$

$x_c = \sqrt{\frac{k|q_1|}{E}}$

Минимальная начальная скорость $v_{min}$ — это такая скорость, при которой заряд $q_2$ сможет достичь точки $x_c$, и его скорость в этой точке станет равной нулю. Если заряд достигнет этой точки, то при малейшем смещении вправо результирующая сила $F(x)$ станет положительной ($F_E$ останется прежней, а $F_k$ уменьшится), и заряд будет ускоряться в сторону бесконечности.

Воспользуемся законом сохранения энергии. Полная энергия системы (кинетическая + потенциальная) в начальный момент времени должна быть равна полной энергии в точке $x_c$.

$W_1 = W_2$

$W_{k1} + W_{p1} = W_{k2} + W_{p2}$

Начальная кинетическая энергия: $W_{k1} = \frac{mv_{min}^2}{2}$.

Конечная кинетическая энергия: $W_{k2} = 0$.

Потенциальная энергия заряда $q_2$ складывается из энергии его взаимодействия с зарядом $q_1$ и энергии во внешнем поле $E$. Потенциальная энергия в точке с координатой $x$ равна: $W_p(x) = \frac{k q_1 q_2}{x} - q_2 E x$. (Здесь потенциал внешнего поля выбран как $\phi(x) = -Ex$).

Тогда закон сохранения энергии примет вид:

$\frac{mv_{min}^2}{2} + \frac{k q_1 q_2}{l_0} - q_2 E l_0 = 0 + \frac{k q_1 q_2}{x_c} - q_2 E x_c$

Выразим $\frac{mv_{min}^2}{2}$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = k q_1 q_2 \left(\frac{1}{x_c} - \frac{1}{l_0}\right) - q_2 E (x_c - l_0)$

Учитывая, что $q_1 = -|q_1|$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = -k |q_1| q_2 \left(\frac{1}{x_c} - \frac{1}{l_0}\right) - q_2 E (x_c - l_0) = \frac{k|q_1|q_2}{l_0} - \frac{k|q_1|q_2}{x_c} + q_2 E l_0 - q_2 E x_c$

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \left(\frac{k|q_1|q_2}{l_0} + q_2 E l_0\right) - \left(\frac{k|q_1|q_2}{x_c} + q_2 E x_c\right)$

Подставим выражение для $x_c = \sqrt{\frac{k|q_1|}{E}}$ во вторую скобку:

$\frac{k|q_1|q_2}{x_c} = \frac{k|q_1|q_2}{\sqrt{\frac{k|q_1|}{E}}} = q_2 \sqrt{k|q_1|E}$

$q_2 E x_c = q_2 E \sqrt{\frac{k|q_1|}{E}} = q_2 \sqrt{k|q_1|E}$

Тогда вторая скобка равна $2q_2 \sqrt{k|q_1|E}$.

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{k|q_1|q_2}{l_0} + q_2 E l_0 - 2q_2 \sqrt{k|q_1|E}$

Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом разности:

$\frac{k|q_1|}{l_0} + E l_0 - 2\sqrt{\frac{k|q_1|}{l_0} \cdot E l_0} = \left(\sqrt{\frac{k|q_1|}{l_0}} - \sqrt{E l_0}\right)^2$

Тогда:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = q_2 \left(\sqrt{\frac{k|q_1|}{l_0}} - \sqrt{E l_0}\right)^2$

$v_{min} = \left|\sqrt{\frac{k|q_1|}{l_0}} - \sqrt{E l_0}\right| \sqrt{\frac{2q_2}{m}}$

Подставим числовые значения:

$\sqrt{\frac{k|q_1|}{l_0}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 1 \cdot 10^{-7}}{1,0}} = \sqrt{900} = 30 \text{ (в единицах СИ)}$

$\sqrt{E l_0} = \sqrt{100 \cdot 1,0} = \sqrt{100} = 10 \text{ (в единицах СИ)}$

$\sqrt{\frac{2q_2}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{10^{-4}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-6}}{10^{-4}}} = \sqrt{4 \cdot 10^{-2}} = 2 \cdot 10^{-1} = 0,2 \text{ (в единицах СИ)}$

$v_{min} = |30 - 10| \cdot 0,2 = 20 \cdot 0,2 = 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v_{min} = 4,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.