Номер 692, страница 151 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

692. *По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 30^{\circ}$ с горизонтом, с ее вершины с высоты $h = 40$ см в вакууме без начальной скорости соскальзывает маленькая шайба массой $m = 10$ г, заряженная положительным зарядом $q_1 = 1,0$ мкКл. В точке пересечения вертикали, проведенной через начальное положение шайбы, и основания плоскости закреплен положительный заряд $q_2 = 2,0$ мкКл. Определите модуль скорости, с которой шайба достигнет основания плоскости.

Дано:

α = 30°

h = 40 см

m = 10 г

$q_1 = 1,0$ мкКл

$q_2 = 2,0$ мкКл

$v_0 = 0$ м/с

Постоянные величины:

k = $9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² (электрическая постоянная)

g ≈ 9,8 м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

h = 0,4 м

m = 0,01 кг

$q_1 = 1,0 \cdot 10^{-6}$ Кл

$q_2 = 2,0 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

v — ?

Решение:

Поскольку наклонная плоскость гладкая и движение происходит в вакууме, внешние неконсервативные силы (как сила трения или сопротивления воздуха) отсутствуют. Силы, совершающие работу над шайбой, — сила тяжести и сила Кулона — являются консервативными. Сила нормальной реакции опоры перпендикулярна вектору перемещения шайбы и, следовательно, работы не совершает. В таких условиях для системы, состоящей из шайбы, Земли и неподвижного заряда $q_2$, выполняется закон сохранения полной энергии.

Полная энергия системы $E$ складывается из кинетической энергии шайбы $K$, её потенциальной энергии в поле тяготения Земли $U_g$ и электростатической потенциальной энергии взаимодействия зарядов $q_1$ и $q_2$: $E = K + U_g + U_e$.

Запишем закон сохранения энергии для начального (1) и конечного (2) положений шайбы: $E_1 = E_2$.

Рассмотрим начальное состояние (на вершине плоскости). Шайба начинает движение без начальной скорости, поэтому $v_1 = 0$, и её кинетическая энергия $K_1 = 0$. За нулевой уровень потенциальной энергии примем основание наклонной плоскости. Тогда начальная гравитационная потенциальная энергия равна $U_{g1} = mgh$. Согласно условию, заряд $q_2$ находится в точке пересечения вертикали, проведенной через начальное положение шайбы, и основания плоскости. Это означает, что начальное расстояние между зарядами $r_1$ равно высоте $h$. Начальная электростатическая потенциальная энергия равна $U_{e1} = \frac{k q_1 q_2}{r_1} = \frac{k q_1 q_2}{h}$.

Таким образом, полная начальная энергия системы: $E_1 = 0 + mgh + \frac{k q_1 q_2}{h}$.

Рассмотрим конечное состояние (у основания плоскости). Шайба достигает скорости $v$, её кинетическая энергия становится $K_2 = \frac{mv^2}{2}$. Шайба находится на нулевом уровне, поэтому её гравитационная потенциальная энергия $U_{g2} = 0$. В конечном положении шайба находится у основания наклонной плоскости. Расстояние $r_2$ между зарядом $q_1$ и зарядом $q_2$ будет равно длине наклонной плоскости $L$. Из прямоугольного треугольника с катетом $h$ (высота) и гипотенузой $L$ (длина наклонной плоскости), имеем $L = \frac{h}{\sin\alpha}$. Следовательно, $r_2 = \frac{h}{\sin\alpha}$. Конечная электростатическая потенциальная энергия равна $U_{e2} = \frac{k q_1 q_2}{r_2} = \frac{k q_1 q_2 \sin\alpha}{h}$.

Полная конечная энергия системы: $E_2 = \frac{mv^2}{2} + 0 + \frac{k q_1 q_2 \sin\alpha}{h}$.

Приравниваем начальную и конечную энергии, согласно закону сохранения энергии:

$mgh + \frac{k q_1 q_2}{h} = \frac{mv^2}{2} + \frac{k q_1 q_2 \sin\alpha}{h}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$:

$\frac{mv^2}{2} = mgh + \frac{k q_1 q_2}{h} - \frac{k q_1 q_2 \sin\alpha}{h}$

$\frac{mv^2}{2} = mgh + \frac{k q_1 q_2}{h} (1 - \sin\alpha)$

$v^2 = \frac{2}{m} \left( mgh + \frac{k q_1 q_2}{h} (1 - \sin\alpha) \right)$

$v = \sqrt{2gh + \frac{2 k q_1 q_2}{mh} (1 - \sin\alpha)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\sin 30^\circ = 0,5$

$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,4 \text{ м} + \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{0,01 \text{ кг} \cdot 0,4 \text{ м}} (1 - 0,5)}$

$v = \sqrt{7,84 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} + \frac{0,036 \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \text{Кл}^2}{0,004 \text{ кг} \cdot \text{м}} \cdot 0,5}$

$v = \sqrt{7,84 + \frac{0,036}{0,004} \cdot 0,5} = \sqrt{7,84 + 9 \cdot 0,5} = \sqrt{7,84 + 4,5} = \sqrt{12,34} \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)$

$v \approx 3,51 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости, с которой шайба достигнет основания плоскости, равен приблизительно 3,51 м/с.