Номер 689, страница 150 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

689. *В воздухе на расстоянии $h = 30 \text{ мм}$ от середины шероховатого горизонтального стержня и на расстоянии $l = 50 \text{ мм}$ от его концов закреплен точечный положительный заряд $q$ (рис. 127). В точке A на стержне находится маленькая бусинка с зарядом $q_0 = 5,0 \text{ нКл}$, которой сообщают начальную кинетическую энергию $E_A = 68 \text{ мДж}$. Определите заряд $q$, если при скольжении бусинки по стержню ее кинетическая энергия в точках $B$ и $C$ соответственно равна $E_B = 40 \text{ мДж}$ и $E_C = 36 \text{ мДж}$.

Рис. 127

Дано:

$h = 30 \text{ мм} = 0,03 \text{ м}$

$l = 50 \text{ мм} = 0,05 \text{ м}$

$q_0 = 5,0 \text{ нКл} = 5,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$E_A = 68 \text{ мДж} = 68 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

$E_B = 40 \text{ мДж} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

$E_C = 36 \text{ мДж} = 36 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$.

Найти:

$q$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на это тело. В нашем случае на бусинку действуют электростатическая сила со стороны заряда $q$ и сила трения со стороны стержня. Работа этих сил идет на изменение кинетической энергии бусинки.

Рассмотрим движение бусинки на участке от точки A до точки B. Изменение кинетической энергии на этом участке:

$\Delta E_{k, AB} = E_B - E_A = W_{эл, AB} + W_{тр, AB}$

где $W_{эл, AB}$ — работа электростатической силы, а $W_{тр, AB}$ — работа силы трения на участке AB.

Работа электростатической силы равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках, взятой с противоположным знаком: $W_{эл} = -(U_{конечная} - U_{начальная}) = U_{начальная} - U_{конечная}$.

Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов $q$ и $q_0$ на расстоянии $r$ друг от друга определяется формулой $U = k \frac{q q_0}{r}$.

В точке A расстояние между зарядами равно $l$, в точке B — $h$. Тогда:

$U_A = k \frac{q q_0}{l}$, $U_B = k \frac{q q_0}{h}$

Работа электростатической силы на участке AB:

$W_{эл, AB} = U_A - U_B = k q q_0 (\frac{1}{l} - \frac{1}{h})$

Таким образом, уравнение для участка AB имеет вид:

$E_B - E_A = k q q_0 (\frac{1}{l} - \frac{1}{h}) + W_{тр, AB}$ (1)

Теперь рассмотрим движение бусинки на участке от точки B до точки C. Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_{k, BC} = E_C - E_B = W_{эл, BC} + W_{тр, BC}$

В точке C расстояние между зарядами снова равно $l$, поэтому $U_C = U_A = k \frac{q q_0}{l}$.

Работа электростатической силы на участке BC:

$W_{эл, BC} = U_B - U_C = k q q_0 (\frac{1}{h} - \frac{1}{l})$

Поскольку стержень шероховатый и горизонтальный, а расположение точек A, B, C симметрично относительно вертикали, проходящей через заряд $q$, можно считать, что работа силы трения на симметричных участках AB и BC одинакова: $W_{тр, AB} = W_{тр, BC}$.

Тогда уравнение для участка BC примет вид:

$E_C - E_B = k q q_0 (\frac{1}{h} - \frac{1}{l}) + W_{тр, AB}$ (2)

Мы получили систему двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными: зарядом $q$ и работой силы трения $W_{тр, AB}$. Чтобы найти $q$, исключим $W_{тр, AB}$ из системы, вычитая уравнение (2) из уравнения (1):

$(E_B - E_A) - (E_C - E_B) = [k q q_0 (\frac{1}{l} - \frac{1}{h}) + W_{тр, AB}] - [k q q_0 (\frac{1}{h} - \frac{1}{l}) + W_{тр, AB}]$

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

$2E_B - E_A - E_C = k q q_0 (\frac{1}{l} - \frac{1}{h}) - k q q_0 (\frac{1}{h} - \frac{1}{l})$

$2E_B - E_A - E_C = k q q_0 (\frac{1}{l} - \frac{1}{h} - \frac{1}{h} + \frac{1}{l})$

$2E_B - E_A - E_C = 2 k q q_0 (\frac{1}{l} - \frac{1}{h})$

Выразим из этого уравнения искомый заряд $q$:

$q = \frac{2E_B - E_A - E_C}{2 k q_0 (\frac{1}{l} - \frac{1}{h})}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$2E_B - E_A - E_C = 2 \cdot (40 \cdot 10^{-3}) - 68 \cdot 10^{-3} - 36 \cdot 10^{-3} = (80 - 68 - 36) \cdot 10^{-3} = -24 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

$\frac{1}{l} - \frac{1}{h} = \frac{1}{0,05} - \frac{1}{0,03} = 20 - \frac{100}{3} = \frac{60 - 100}{3} = -\frac{40}{3} \text{ м}^{-1}$

$q = \frac{-24 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{2 \cdot (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot (5,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (-\frac{40}{3} \text{ м}^{-1})}$

$q = \frac{-24 \cdot 10^{-3}}{90 \cdot (-\frac{40}{3})} = \frac{-24 \cdot 10^{-3}}{-1200} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}$

Результат можно выразить в микрокулонах: $2 \cdot 10^{-5} \text{ Кл} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 20 \text{ мкКл}$.

Ответ: $q = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}$ (или 20 мкКл).