Номер 688, страница 150 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

688. *В вакууме в однородном электростатическом поле, модуль напряженности которого $E=1 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$, подвешен на легкой нерастяжимой непроводящей нити длиной $l=15 \text{ см}$ шарик массой $m=10 \text{ г}$ и зарядом $q=20 \text{ мкКл}$. Линии напряженности поля направлены вертикально вниз. Какую минимальную горизонтальную скорость необходимо сообщить шарику, чтобы он совершил в вертикальной плоскости полный оборот?

Дано:

$E = 1 \frac{кВ}{м}$

$l = 15 \text{ см}$

$m = 10 \text{ г}$

$q = 20 \text{ мкКл}$

Перевод в систему СИ:

$E = 1 \cdot 10^3 \frac{В}{м}$

$l = 0.15 \text{ м}$

$m = 0.01 \text{ кг}$

$q = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$v_{min}$ - ?

Решение:

На шарик, подвешенный на нити, в однородном электростатическом поле действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, электрическая сила $F_e = qE$, которая также направлена вертикально вниз (поскольку заряд $q$ положительный, а поле $E$ направлено вниз), и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Так как силы тяжести и электрическая сила постоянны и сонаправлены, их можно объединить в одну эффективную силу тяжести:

$F_{эфф} = F_g + F_e = mg + qE$

Движение шарика можно рассматривать как движение в поле с эффективным ускорением свободного падения:

$g_{эфф} = \frac{F_{эфф}}{m} = g + \frac{qE}{m}$

Для того чтобы шарик совершил полный оборот в вертикальной плоскости, нить должна оставаться натянутой в течение всего движения. Критическим является условие в верхней точке траектории, где скорость минимальна, а значит и сила натяжения нити минимальна. Минимальная начальная скорость соответствует случаю, когда сила натяжения нити в верхней точке становится равной нулю ($T_{верх} = 0$).

Запишем второй закон Ньютона для шарика в верхней точке траектории. В этой точке сила натяжения нити $T_{верх}$ и эффективная сила тяжести $F_{эфф}$ направлены вниз, к центру окружности, и их сумма создает центростремительное ускорение:

$T_{верх} + F_{эфф} = m \frac{v_{верх}^2}{l}$

Подставляя $F_{эфф} = mg + qE$ и условие $T_{верх} = 0$, получим минимальную скорость в верхней точке:

$mg + qE = m \frac{v_{верх, min}^2}{l}$

$v_{верх, min}^2 = \frac{l(mg + qE)}{m} = l(g + \frac{qE}{m})$

Теперь применим закон сохранения энергии для шарика. Сравним состояние в нижней точке (начальное) и в верхней точке (конечное). За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение шарика в нижней точке.

Энергия в нижней точке: $W_{низ} = K_{низ} + U_{низ} = \frac{mv_{min}^2}{2} + 0$

Энергия в верхней точке: $W_{верх} = K_{верх} + U_{верх} = \frac{mv_{верх, min}^2}{2} + (mg+qE) \cdot 2l$

По закону сохранения энергии $W_{низ} = W_{верх}$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{mv_{верх, min}^2}{2} + 2l(mg+qE)$

Подставим выражение для $v_{верх, min}^2$ в уравнение энергии:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{m}{2} \cdot \frac{l(mg + qE)}{m} + 2l(mg+qE)$

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{1}{2}l(mg + qE) + 2l(mg+qE)$

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{5}{2}l(mg + qE)$

$v_{min}^2 = \frac{5l(mg+qE)}{m} = 5l(g + \frac{qE}{m})$

Отсюда минимальная начальная скорость:

$v_{min} = \sqrt{5l(g + \frac{qE}{m})}$

Подставим числовые значения. Примем $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

$v_{min} = \sqrt{5 \cdot 0.15 \cdot (10 + \frac{20 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 10^3}{0.01})} = \sqrt{0.75 \cdot (10 + \frac{0.02}{0.01})} = \sqrt{0.75 \cdot (10 + 2)} = \sqrt{0.75 \cdot 12} = \sqrt{9} = 3 \frac{м}{с}$

Ответ: минимальная горизонтальная скорость, которую необходимо сообщить шарику, равна $3 \frac{м}{с}$.