Номер 681, страница 148 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

681.*На горизонтальной поверхности в вакууме на расстоянии $l = 20$ см друг от друга удерживаются связанные легкой нерастяжимой нитью два одинаковых маленьких бруска с зарядом $q = 1$ мкКл каждый. Нить пережигают, и бруски удаляются друг от друга. При этом каждый брусок до остановки проходит путь $s = 35$ см. Определите массу каждого бруска, если коэффициент трения скольжения между каждым бруском и плоскостью $\mu = 0,20$.

Дано:

$l = 20$ см

$q = 1$ мкКл

$s = 35$ см

$μ = 0,20$

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$l = 0,2$ м

$q = 1 \cdot 10^{-6}$ Кл

$s = 0,35$ м

Найти:

$m$ - массу каждого бруска.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом изменения полной механической энергии. Согласно этому закону, изменение полной механической энергии системы равно работе внешних неконсервативных сил (в данном случае, работе сил трения).

$\Delta E = A_{тр}$

Полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии брусков и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия. Поскольку в начальном и конечном состояниях бруски покоятся, их кинетическая энергия в этих состояниях равна нулю.

Начальная энергия системы $E_1$ равна потенциальной энергии взаимодействия зарядов, находящихся на расстоянии $l$:

$E_1 = U_1 = k \frac{q^2}{l}$

В конечном состоянии каждый брусок проходит путь $s$, удаляясь от первоначального положения. Таким образом, конечное расстояние между брусками становится $l_{кон} = l + 2s$. Конечная энергия системы $E_2$ равна:

$E_2 = U_2 = k \frac{q^2}{l + 2s}$

Работа силы трения $A_{тр}$ совершается над обоими брусками. Сила трения, действующая на каждый брусок, равна $F_{тр} = \mu N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$, следовательно, $F_{тр} = \mu mg$. Работа силы трения для одного бруска на пути $s$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения: $A_{тр,1} = -F_{тр} \cdot s = -\mu mgs$. Поскольку брусков два, общая работа сил трения равна:

$A_{тр} = 2 \cdot A_{тр,1} = -2\mu mgs$

Теперь запишем закон изменения энергии: $E_2 - E_1 = A_{тр}$

$k \frac{q^2}{l + 2s} - k \frac{q^2}{l} = -2\mu mgs$

Вынесем общий множитель $k q^2$ за скобки:

$k q^2 (\frac{1}{l + 2s} - \frac{1}{l}) = -2\mu mgs$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$k q^2 (\frac{l - (l + 2s)}{l(l + 2s)}) = -2\mu mgs$

$k q^2 (\frac{-2s}{l(l + 2s)}) = -2\mu mgs$

Сократим обе части уравнения на $-2s$ (поскольку $s \neq 0$):

$\frac{k q^2}{l(l + 2s)} = \mu mg$

Из этого уравнения выразим массу $m$:

$m = \frac{k q^2}{\mu g l(l + 2s)}$

Подставим числовые значения в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$m = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1 \cdot 10^{-6})^2}{0,20 \cdot 10 \cdot 0,2 \cdot (0,2 + 2 \cdot 0,35)} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-12}}{0,20 \cdot 10 \cdot 0,2 \cdot (0,2 + 0,7)}$

$m = \frac{9 \cdot 10^{-3}}{0,20 \cdot 10 \cdot 0,2 \cdot 0,9} = \frac{9 \cdot 10^{-3}}{0,36} = \frac{0,009}{0,36} = 0,025$ кг.

Массу можно также выразить в граммах: $0,025$ кг $= 25$ г.

Ответ: масса каждого бруска равна $0,025$ кг (или $25$ г).