Номер 680, страница 148 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

680. *Две маленькие шайбы массой $m = 50$ г и зарядом $q = 10$ мкКл каждая сначала удерживали в вакууме на горизонтальной плоскости на расстоянии $r_1 = 2,0$ м друг от друга. Затем шайбы одновременно отпустили, и они удалились друг от друга на максимальное расстояние $r_2 = 9,0$ м. Определите коэффициент трения между шайбами и плоскостью.

Дано:

$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

$q = 10 \text{ мкКл} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$r_1 = 2.0 \text{ м}$

$r_2 = 9.0 \text{ м}$

Найти:

$\mu$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учётом работы сил трения. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил, в данном случае, работе сил трения.

$\Delta E = A_{тр}$

Полная механическая энергия системы состоит из кинетической энергии шайб и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия.

В начальном состоянии шайбы покоятся ($K_1 = 0$) на расстоянии $r_1$ друг от друга. Начальная энергия системы равна потенциальной энергии взаимодействия зарядов:

$E_1 = U_1 = k \frac{q^2}{r_1}$

где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — постоянная Кулона.

В конечном состоянии шайбы снова останавливаются ($K_2 = 0$) на максимальном расстоянии $r_2$. Конечная энергия системы:

$E_2 = U_2 = k \frac{q^2}{r_2}$

Изменение полной механической энергии системы:

$\Delta E = E_2 - E_1 = k \frac{q^2}{r_2} - k \frac{q^2}{r_1} = k q^2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$

Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения. Сила трения, действующая на каждую шайбу, равна $F_{тр} = \mu N$. Поскольку плоскость горизонтальная, сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg$.

Шайбы движутся симметрично в противоположные стороны. Каждая шайба проходит путь $s = \frac{r_2 - r_1}{2}$. Суммарная работа сил трения, действующих на обе шайбы, равна:

$A_{тр} = -2 \cdot F_{тр} \cdot s = -2 \cdot (\mu mg) \cdot \frac{r_2 - r_1}{2} = -\mu mg (r_2 - r_1)$

Приравниваем изменение энергии и работу силы трения:

$k q^2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right) = -\mu mg (r_2 - r_1)$

Преобразуем выражение в скобках:

$k q^2 \left( \frac{r_1 - r_2}{r_1 r_2} \right) = -\mu mg (r_2 - r_1)$

$k q^2 \frac{-(r_2 - r_1)}{r_1 r_2} = -\mu mg (r_2 - r_1)$

Сокращаем обе части на $-(r_2 - r_1)$:

$\frac{k q^2}{r_1 r_2} = \mu mg$

Отсюда выражаем искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{k q^2}{m g r_1 r_2}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$\mu = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})^2}{0.05 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2.0 \text{ м} \cdot 9.0 \text{ м}} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 100 \cdot 10^{-12}}{0.05 \cdot 10 \cdot 2.0 \cdot 9.0} = \frac{9 \cdot 10^{-1}}{9} = \frac{0.9}{9} = 0.1$

Ответ: 0.1.