Номер 675, страница 147 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

675. *В вершинах острых углов ромба закреплены точечные заряды $q_0 = 7,0$ нКл, а в вершинах тупых углов находятся частицы массой $m = 2,0$ мг и зарядом $q = 2,0$ нКл каждая. Частицы одновременно отпускают, и они приходят в движение. Определите модуль скорости частиц после их разлета на большое расстояние. Сторона ромба $a = 3$ см, а его острый угол $\alpha = 60^{\circ}$. Силой тяжести и излучением электромагнитной энергии пренебречь.

Дано:

$q_0 = 7,0$ нКл
$m = 2,0$ мг
$q = 2,0$ нКл
$a = 3$ см
$α = 60°$

Переведем величины в систему СИ:
$q_0 = 7,0 \times 10^{-9}$ Кл
$m = 2,0 \times 10^{-3}$ г = $2,0 \times 10^{-6}$ кг
$q = 2,0 \times 10^{-9}$ Кл
$a = 0,03$ м

Найти:

$v$ - модуль скорости частиц после их разлета.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент времени система неподвижна, и ее полная энергия равна потенциальной энергии взаимодействия всех зарядов. В конечный момент времени, когда подвижные частицы разлетелись на большое расстояние, их энергия взаимодействия с другими зарядами стремится к нулю. Полная энергия системы в конечном состоянии равна сумме кинетической энергии подвижных частиц и потенциальной энергии взаимодействия неподвижных зарядов.

Закон сохранения энергии: $E_{начальная} = E_{конечная}$.

Начальная энергия системы: $E_{начальная} = U_{начальная}$, так как начальная кинетическая энергия равна нулю.

Определим геометрию системы. Ромб с острым углом $60°$ состоит из двух равносторонних треугольников. Неподвижные заряды $q_0$ находятся в вершинах острых углов ($60°$), а подвижные частицы с зарядом $q$ и массой $m$ — в вершинах тупых углов ($120°$).

Расстояние между подвижными зарядами $q$ равно малой диагонали ромба. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и этой диагональю. Угол между сторонами - острый угол ромба $α = 60°$. Поскольку две стороны равны ($a$), этот треугольник является равносторонним. Следовательно, расстояние между подвижными зарядами равно $a$.

Расстояние между неподвижными зарядами $q_0$ равно большой диагонали ромба. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и большой диагональю (угол между сторонами $180° - 60° = 120°$):$d_{q_0, q_0}^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos(120°) = 2a^2(1 - (-0.5)) = 3a^2$.Таким образом, расстояние между неподвижными зарядами $d_{q_0, q_0} = a\sqrt{3}$.

Начальная потенциальная энергия системы $U_{начальная}$ равна сумме энергий попарного взаимодействия всех четырех зарядов:$U_{начальная} = k\frac{q^2}{a} + k\frac{q_0^2}{a\sqrt{3}} + 4k\frac{qq_0}{a}$

Конечная энергия системы $E_{конечная} = K_{конечная} + U_{конечная}$.Вследствие симметрии задачи, скорости подвижных частиц будут одинаковы по модулю. Конечная кинетическая энергия системы:$K_{конечная} = 2 \cdot \frac{mv^2}{2} = mv^2$.

В конечном состоянии подвижные частицы находятся на очень большом расстоянии от системы, поэтому их потенциальная энергия взаимодействия с другими зарядами равна нулю. Потенциальная энергия сохраняется только для неподвижных зарядов:$U_{конечная} = k\frac{q_0^2}{a\sqrt{3}}$.

Приравниваем начальную и конечную энергии:$k\frac{q^2}{a} + k\frac{q_0^2}{a\sqrt{3}} + 4k\frac{qq_0}{a} = mv^2 + k\frac{q_0^2}{a\sqrt{3}}$

Член, отвечающий за взаимодействие неподвижных зарядов, сокращается:$k\frac{q^2}{a} + 4k\frac{qq_0}{a} = mv^2$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:$mv^2 = \frac{kq}{a}(q + 4q_0)$$v = \sqrt{\frac{kq}{ma}(q + 4q_0)}$

Подставим числовые значения ($k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²):$v = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2,0 \cdot 10^{-9}}{2,0 \cdot 10^{-6} \cdot 0,03}(2,0 \cdot 10^{-9} + 4 \cdot 7,0 \cdot 10^{-9})}$$v = \sqrt{\frac{18}{6 \cdot 10^{-8}}(2,0 \cdot 10^{-9} + 28 \cdot 10^{-9})}$$v = \sqrt{3 \cdot 10^8 \cdot 30 \cdot 10^{-9}} = \sqrt{90 \cdot 10^{-1}} = \sqrt{9}$$v = 3$ м/с

Ответ: $v = 3$ м/с.