Номер 674, страница 147 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

674. *В одной из вершин равностороннего треугольника со стороной $a = 20$ см закреплен точечный заряд $q_1 = 40$ нКл, а в двух других находятся частицы с зарядами $q_2 = q_3 = 10$ нКл. Масса каждой частицы $m = 0,5$ мг. Частицы отпускают, и они разлетаются. Определите модуль скорости каждой частицы на большом расстоянии от заряда. Излучением электромагнитной энергии пренебречь.

Дано:

$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$q_1 = 40 \text{ нКл} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = q_3 = 10 \text{ нКл} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$m = 0.5 \text{ мг} = 0.5 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$v$ — модуль скорости каждой частицы на большом расстоянии.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Так как электростатические силы консервативны, а излучением энергии можно пренебречь, полная механическая энергия замкнутой системы зарядов сохраняется.

$E_{полная} = K + U = \text{const}$

где $K$ — кинетическая энергия системы, а $U$ — потенциальная энергия взаимодействия зарядов.

В начальный момент времени частицы с зарядами $q_2$ и $q_3$ покоятся, поэтому их начальная кинетическая энергия $K_{нач} = 0$.

Начальная потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий взаимодействия всех пар зарядов. В начальный момент все заряды находятся в вершинах равностороннего треугольника, поэтому расстояние между любыми двумя зарядами равно $a$.

$U_{нач} = U_{12} + U_{13} + U_{23} = k \frac{q_1 q_2}{a} + k \frac{q_1 q_3}{a} + k \frac{q_2 q_3}{a}$

Учитывая, что $q_2 = q_3$, упростим выражение:

$U_{нач} = \frac{k}{a} (2q_1 q_2 + q_2^2)$

Полная начальная энергия системы:

$E_{нач} = K_{нач} + U_{нач} = 0 + \frac{k}{a} (2q_1 q_2 + q_2^2) = \frac{k q_2}{a} (2q_1 + q_2)$

Когда частицы разлетаются на большое расстояние, расстояние между ними стремится к бесконечности ($r \to \infty$). Потенциальная энергия их взаимодействия при этом стремится к нулю, поэтому $U_{кон} = 0$.

В конечном состоянии частицы $q_2$ и $q_3$ будут двигаться. В силу симметрии задачи (равные массы и заряды частиц, симметричное начальное положение относительно неподвижного заряда $q_1$), их скорости на большом расстоянии будут равны по модулю. Обозначим этот модуль скорости как $v$. Заряд $q_1$ закреплен и не движется.

Конечная кинетическая энергия системы:

$K_{кон} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = m v^2$

Полная конечная энергия системы:

$E_{кон} = K_{кон} + U_{кон} = m v^2 + 0 = m v^2$

Согласно закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$:

$\frac{k q_2}{a} (2q_1 + q_2) = m v^2$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$:

$v^2 = \frac{k q_2 (2q_1 + q_2)}{m a}$

$v = \sqrt{\frac{k q_2 (2q_1 + q_2)}{m a}}$

Подставим числовые значения в СИ:

$v = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot 10^{-9} \cdot (2 \cdot 40 \cdot 10^{-9} + 10 \cdot 10^{-9})}{0.5 \cdot 10^{-6} \cdot 0.2}}$

$v = \sqrt{\frac{90 \cdot (80 \cdot 10^{-9} + 10 \cdot 10^{-9})}{0.1 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{90 \cdot (90 \cdot 10^{-9})}{10^{-7}}}$

$v = \sqrt{\frac{8100 \cdot 10^{-9}}{10^{-7}}} = \sqrt{8100 \cdot 10^{-2}} = \sqrt{81}$

$v = 9 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости каждой частицы на большом расстоянии равен $9 \text{ м/с}$.