Номер 665, страница 145 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

665. Четыре точечных заряда $q_A = 0,20 \text{ нКл}$, $q_B = 0,10 \text{ нКл}$, $q_C = 0,40 \text{ нКл}$ и $q_D = -0,40 \text{ нКл}$ находятся в вакууме в соответствующих вершинах квадрата ABCD (рис. 123), длина стороны которого $a = 60 \text{ см}$. Определите работу сил электростатического поля при перемещении заряда $q = -1,0 \text{ мкКл}$ из центра O квадрата в точку M, лежащую на середине стороны AB.

Рис. 123

Дано:

$q_A = 0,20 \text{ нКл}$

$q_B = 0,10 \text{ нКл}$

$q_C = 0,40 \text{ нКл}$

$q_D = -0,40 \text{ нКл}$

$a = 60 \text{ см}$

$q = -1,0 \text{ мкКл}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:

$q_A = 0,20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_B = 0,10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_C = 0,40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_D = -0,40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$a = 0,60 \text{ м}$

$q = -1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$A$

Решение:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда $q$ из начальной точки (центр квадрата O) в конечную точку (середина стороны AB, точка M) равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов между начальной и конечной точками:

$A = q(\phi_O - \phi_M)$

Потенциал электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов, в любой точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции):

$\phi = \sum_{i} \phi_i = \sum_{i} k \frac{q_i}{r_i}$

1. Найдем потенциал $\phi_O$ в центре квадрата O.

Центр квадрата O равноудален от всех его вершин. Расстояние от каждой вершины до центра равно половине длины диагонали квадрата:

$r_O = r_{AO} = r_{BO} = r_{CO} = r_{DO} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{0,60 \cdot \sqrt{2}}{2} = 0,30\sqrt{2} \text{ м}$.

Потенциал в точке O создается всеми четырьмя зарядами:

$\phi_O = k \frac{q_A}{r_O} + k \frac{q_B}{r_O} + k \frac{q_C}{r_O} + k \frac{q_D}{r_O} = \frac{k}{r_O}(q_A+q_B+q_C+q_D)$.

Найдем сумму зарядов:

$q_A+q_B+q_C+q_D = (0,20 + 0,10 + 0,40 - 0,40) \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 0,30 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$.

Вычислим потенциал $\phi_O$:

$\phi_O = \frac{9 \cdot 10^9}{0,30\sqrt{2}} \cdot (0,30 \cdot 10^{-9}) = \frac{9}{\sqrt{2}} \text{ В}$.

2. Найдем потенциал $\phi_M$ в точке M, середине стороны AB.

Найдем расстояния от вершин квадрата до точки M:

Точка M является серединой отрезка AB, поэтому $r_{AM} = r_{BM} = \frac{a}{2} = \frac{0,60}{2} = 0,30 \text{ м}$.

Расстояние $r_{CM}$ найдем из прямоугольного треугольника CBM по теореме Пифагора ($BC = a$, $BM = a/2$):

$r_{CM} = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} = \frac{0,60\sqrt{5}}{2} = 0,30\sqrt{5} \text{ м}$.

Аналогично, из прямоугольного треугольника ADM, расстояние $r_{DM} = r_{CM} = 0,30\sqrt{5} \text{ м}$.

Потенциал в точке M равен:

$\phi_M = k(\frac{q_A}{r_{AM}} + \frac{q_B}{r_{BM}} + \frac{q_C}{r_{CM}} + \frac{q_D}{r_{DM}}) = k(\frac{q_A+q_B}{a/2} + \frac{q_C+q_D}{a\sqrt{5}/2})$.

Так как $q_C+q_D = 0,40 \cdot 10^{-9} - 0,40 \cdot 10^{-9} = 0$, второе слагаемое равно нулю.

$q_A+q_B = (0,20 + 0,10) \cdot 10^{-9} = 0,30 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$.

Вычислим потенциал $\phi_M$:

$\phi_M = k \frac{q_A+q_B}{a/2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{0,30 \cdot 10^{-9}}{0,60/2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{0,30 \cdot 10^{-9}}{0,30} = 9 \text{ В}$.

3. Вычислим работу A.

$A = q(\phi_O - \phi_M) = -1,0 \cdot 10^{-6} \cdot (\frac{9}{\sqrt{2}} - 9) = -9 \cdot 10^{-6} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 9 \cdot 10^{-6} \cdot (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \text{ Дж}$.

Подставим числовые значения:

$A \approx 9 \cdot 10^{-6} \cdot (1 - \frac{1}{1,414}) \approx 9 \cdot 10^{-6} \cdot (1 - 0,707) = 9 \cdot 10^{-6} \cdot 0,293 = 2,637 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$.

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

$A \approx 2,6 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 2,6 \text{ мкДж}$.

Ответ: $A \approx 2,6 \text{ мкДж}$.