Номер 658, страница 143 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

658. В вакууме в вершинах квадрата расположены точечные заряды $q_1 = 1,0 \text{ нКл}$, $q_2 = -2,0 \text{ нКл}$, $q_3 = 4,0 \text{ нКл}$ и $q_4 = -6,0 \text{ нКл}$ (рис. 119). Определите потенциал и модуль напряженности электростатического поля в центре квадрата. Диагональ квадрата $d = 20 \text{ см}$.

Рис. 119

Дано:

$q_1 = 1,0 \text{ нКл} = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -2,0 \text{ нКл} = -2,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_3 = 4,0 \text{ нКл} = 4,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_4 = -6,0 \text{ нКл} = -6,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$d = 20 \text{ см} = 0,20 \text{ м}$

Постоянная Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$φ$ - потенциал электростатического поля в центре квадрата

$E$ - модуль напряженности электростатического поля в центре квадрата

Решение:

Потенциал электростатического поля в центре квадрата

Центр квадрата равноудален от всех его вершин. Расстояние $r$ от каждой вершины до центра равно половине диагонали $d$.

$r = \frac{d}{2} = \frac{0,20 \text{ м}}{2} = 0,10 \text{ м}$

Согласно принципу суперпозиции, потенциал поля, созданного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

$φ = φ_1 + φ_2 + φ_3 + φ_4$

Формула потенциала точечного заряда: $φ = k \frac{q}{r}$.

Следовательно, суммарный потенциал в центре квадрата:

$φ = k \frac{q_1}{r} + k \frac{q_2}{r} + k \frac{q_3}{r} + k \frac{q_4}{r} = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$

Вычислим суммарный заряд:

$\sum q = q_1 + q_2 + q_3 + q_4 = (1,0 - 2,0 + 4,0 - 6,0) \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = -3,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Подставим числовые значения в формулу для потенциала:

$φ = \frac{9 \cdot 10^9}{0,10} \cdot (-3,0 \cdot 10^{-9}) = 90 \cdot 10^9 \cdot (-3,0 \cdot 10^{-9}) \text{ В} = -270 \text{ В}$

Ответ: потенциал электростатического поля в центре квадрата равен $-270 \text{ В}$.

Модуль напряженности электростатического поля в центре квадрата

Напряженность электростатического поля – векторная величина. Результирующая напряженность $\vec{E}$ в центре квадрата определяется как векторная сумма напряженностей полей от каждого заряда:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4$

Модуль напряженности поля точечного заряда: $E = k \frac{|q|}{r^2}$.

Рассчитаем модули напряженности для каждого заряда в центре квадрата:

$E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{|1,0 \cdot 10^{-9}|}{(0,10)^2} = \frac{9}{0,01} = 900 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{|-2,0 \cdot 10^{-9}|}{(0,10)^2} = \frac{18}{0,01} = 1800 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$E_3 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{|4,0 \cdot 10^{-9}|}{(0,10)^2} = \frac{36}{0,01} = 3600 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$E_4 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{|-6,0 \cdot 10^{-9}|}{(0,10)^2} = \frac{54}{0,01} = 5400 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Векторы напряженности от зарядов, расположенных в противоположных вершинах ($q_1$ и $q_3$; $q_2$ и $q_4$), лежат на диагоналях квадрата. Векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_3$ направлены вдоль одной диагонали в противоположные стороны. Их результирующий вектор $\vec{E}_{13}$ имеет модуль:

$E_{13} = |E_3 - E_1| = |3600 - 900| = 2700 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Векторы $\vec{E}_2$ и $\vec{E}_4$ направлены вдоль другой диагонали также в противоположные стороны. Их результирующий вектор $\vec{E}_{24}$ имеет модуль:

$E_{24} = |E_4 - E_2| = |5400 - 1800| = 3600 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Так как диагонали квадрата перпендикулярны, то и векторы $\vec{E}_{13}$ и $\vec{E}_{24}$ перпендикулярны. Модуль результирующего вектора напряженности $\vec{E}$ найдем по теореме Пифагора:

$E = \sqrt{E_{13}^2 + E_{24}^2} = \sqrt{(2700)^2 + (3600)^2} = \sqrt{7290000 + 12960000} = \sqrt{20250000} = 4500 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Это значение можно также выразить как $4,5 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.

Ответ: модуль напряженности электростатического поля в центре квадрата равен $4500 \frac{\text{В}}{\text{м}}$ (или $4,5 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$).