Номер 656, страница 143 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

656. В вакууме в вершинах квадрата со стороной $a$ находятся четыре одноименных точечных заряда $q$ каждый. Определите потенциал электростатического поля в центре квадрата.

Дано:

Сторона квадрата: $a$

Заряды в вершинах: $q_1 = q_2 = q_3 = q_4 = q$

Среда: вакуум (диэлектрическая проницаемость $\epsilon_0$)

Найти:

Потенциал электростатического поля в центре квадрата: $\varphi$

Решение:

Потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него в вакууме, определяется формулой:

$\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Согласно принципу суперпозиции полей, потенциал результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности в данной точке:

$\varphi_{общ} = \varphi_1 + \varphi_2 + \varphi_3 + \varphi_4$

Поскольку все четыре заряда одинаковы ($q$) и находятся на одинаковом расстоянии $r$ от центра квадрата, потенциалы, создаваемые ими в центре, также будут одинаковы.

Найдем расстояние $r$ от каждой вершины до центра квадрата. Центр квадрата находится в точке пересечения его диагоналей. Длину диагонали $d$ квадрата со стороной $a$ найдем по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Расстояние от любой вершины до центра квадрата равно половине длины диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь можем найти потенциал, создаваемый одним зарядом в центре квадрата:

$\varphi_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a\sqrt{2}/2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2q}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sqrt{2}q}{a}$

Так как все четыре заряда и расстояния одинаковы, суммарный потенциал в центре квадрата будет равен учетверенному потенциалу от одного заряда:

$\varphi_{общ} = 4 \cdot \varphi_1 = 4 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sqrt{2}q}{a} = \frac{4\sqrt{2}q}{4\pi\epsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2}q}{\pi\epsilon_0 a}$

Ответ: $\varphi = \frac{\sqrt{2}q}{\pi\epsilon_0 a}$.