Номер 649, страница 141 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

649. Расстояние между точечными зарядами $q_1 = 10 \text{ нКл}$ и $q_2 = -1,0 \text{ нКл}$, находящимися в вакууме, $l = 1,1 \text{ м}$. Определите модуль напряженности поля в точке, лежащей на прямой, проходящей через заряды и находящейся между ними, если потенциал поля в этой точке равен нулю.

Дано:

$q_1 = 10 \text{ нКл} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -1,0 \text{ нКл} = -1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$l = 1,1 \text{ м}$

$\phi = 0$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$E$

Решение:

Пусть искомая точка находится на расстоянии $r_1$ от заряда $q_1$ и на расстоянии $r_2$ от заряда $q_2$. Так как точка лежит на прямой, проходящей через заряды и находящейся между ними, то $r_1 + r_2 = l$.

Потенциал электростатического поля в этой точке является алгебраической суммой потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\phi = \phi_1 + \phi_2 = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2}$

По условию задачи, потенциал в этой точке равен нулю:

$k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2} = 0$

$\frac{q_1}{r_1} = - \frac{q_2}{r_2}$

Подставим в это уравнение выражение $r_2 = l - r_1$:

$\frac{q_1}{r_1} = - \frac{q_2}{l - r_1}$

Решим это уравнение относительно $r_1$, подставив значения зарядов:

$\frac{10 \cdot 10^{-9}}{r_1} = - \frac{-1,0 \cdot 10^{-9}}{1,1 - r_1}$

$\frac{10}{r_1} = \frac{1}{1,1 - r_1}$

$10 \cdot (1,1 - r_1) = r_1$

$11 - 10r_1 = r_1$

$11 = 11r_1$

$r_1 = 1,0 \text{ м}$

Тогда расстояние до второго заряда будет:

$r_2 = l - r_1 = 1,1 \text{ м} - 1,0 \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Теперь определим модуль напряженности поля в этой точке. Напряженность поля, создаваемая положительным зарядом $q_1$, направлена от него. Напряженность поля, создаваемая отрицательным зарядом $q_2$, направлена к нему. Так как точка находится между зарядами, векторы напряженностей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ сонаправлены. Следовательно, модуль результирующей напряженности равен сумме модулей:

$E = E_1 + E_2$

Модули напряженности полей, создаваемых каждым зарядом, вычисляются по формулам:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2}$ и $E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2}$

$E = k \left( \frac{|q_1|}{r_1^2} + \frac{|q_2|}{r_2^2} \right)$

Подставим числовые значения:

$E = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \left( \frac{10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(1,0 \text{ м})^2} + \frac{|-1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}|}{(0,1 \text{ м})^2} \right)$

$E = 9 \cdot 10^9 \cdot \left( \frac{10 \cdot 10^{-9}}{1} + \frac{1,0 \cdot 10^{-9}}{0,01} \right)$

$E = 9 \cdot 10^9 \cdot (10 \cdot 10^{-9} + 100 \cdot 10^{-9})$

$E = 9 \cdot 10^9 \cdot (110 \cdot 10^{-9}) = 9 \cdot 110 = 990 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: модуль напряженности поля в указанной точке равен $990 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.