Номер 646, страница 141 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

646. Четыре положительных точечных заряда $q_1 = q$, $q_2 = 2q$, $q_3 = 3q$ и $q_4 = 4q$ расположены в вакууме на одной прямой. Расстояние между соседними зарядами равно $l$ (рис. 114). Определите потенциал и модуль напряженности электростатического поля, созданного этими зарядами, в точке А, находящейся посередине между зарядами $q_2$ и $q_3$.

Рис. 114

Дано:

$q_1 = q$

$q_2 = 2q$

$q_3 = 3q$

$q_4 = 4q$

Расстояние между соседними зарядами равно $l$.

Точка А находится посередине между зарядами $q_2$ и $q_3$.

Найти:

Потенциал $\phi_A$ и модуль напряженности $E_A$ в точке А.

Решение:

1. Определение потенциала в точке А.

Потенциал электростатического поля, созданного системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, созданных каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции). Потенциал, создаваемый точечным зарядом $Q$ на расстоянии $r$, равен $\phi = k\frac{Q}{r}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – коэффициент в законе Кулона.

Сначала определим расстояния от каждого заряда до точки А. Расположим заряды на оси $Ox$ так, что заряд $q_1$ находится в начале координат ($x_1=0$). Тогда координаты зарядов будут: $x_1=0$, $x_2=l$, $x_3=2l$, $x_4=3l$.

Точка А находится посередине между $q_2$ и $q_3$, ее координата: $x_A = \frac{x_2 + x_3}{2} = \frac{l + 2l}{2} = 1.5l$.

Теперь найдем расстояния от каждого заряда до точки А:

$r_1 = |x_A - x_1| = |1.5l - 0| = 1.5l = \frac{3}{2}l$

$r_2 = |x_A - x_2| = |1.5l - l| = 0.5l = \frac{1}{2}l$

$r_3 = |x_A - x_3| = |1.5l - 2l| = |-0.5l| = 0.5l = \frac{1}{2}l$

$r_4 = |x_A - x_4| = |1.5l - 3l| = |-1.5l| = 1.5l = \frac{3}{2}l$

Суммарный потенциал в точке А:

$\phi_A = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_4 = k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_2}{r_2} + k\frac{q_3}{r_3} + k\frac{q_4}{r_4}$

Подставим значения зарядов и расстояний:

$\phi_A = k\frac{q}{1.5l} + k\frac{2q}{0.5l} + k\frac{3q}{0.5l} + k\frac{4q}{1.5l} = k\left(\frac{q}{\frac{3}{2}l} + \frac{2q}{\frac{1}{2}l} + \frac{3q}{\frac{1}{2}l} + \frac{4q}{\frac{3}{2}l}\right)$

$\phi_A = \frac{kq}{l}\left(\frac{2}{3} + 4 + 6 + \frac{8}{3}\right) = \frac{kq}{l}\left(\frac{10}{3} + 10\right) = \frac{kq}{l}\left(\frac{10+30}{3}\right) = \frac{40kq}{3l}$

Подставляя $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$:

$\phi_A = \frac{40q}{3l} \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = \frac{10q}{3\pi\epsilon_0 l}$

2. Определение модуля напряженности в точке А.

Напряженность электростатического поля также подчиняется принципу суперпозиции: $\vec{E}_A = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4$. Напряженность – векторная величина. Модуль напряженности поля точечного заряда $Q$ на расстоянии $r$ равен $E = k\frac{|Q|}{r^2}$.

Так как все заряды положительные, вектор напряженности от каждого заряда направлен от него. Направим ось $Ox$ вправо вдоль прямой, на которой лежат заряды. Тогда:

Вектор $\vec{E}_1$ (от $q_1$) направлен вправо (вдоль оси $Ox$).

Вектор $\vec{E}_2$ (от $q_2$) направлен вправо (вдоль оси $Ox$).

Вектор $\vec{E}_3$ (от $q_3$) направлен влево (против оси $Ox$).

Вектор $\vec{E}_4$ (от $q_4$) направлен влево (против оси $Ox$).

Проекция результирующего вектора напряженности на ось $Ox$:

$E_{Ax} = E_1 + E_2 - E_3 - E_4$

Найдем модули напряженностей от каждого заряда:

$E_1 = k\frac{q_1}{r_1^2} = k\frac{q}{(1.5l)^2} = k\frac{q}{2.25l^2} = \frac{4kq}{9l^2}$

$E_2 = k\frac{q_2}{r_2^2} = k\frac{2q}{(0.5l)^2} = k\frac{2q}{0.25l^2} = \frac{8kq}{l^2}$

$E_3 = k\frac{q_3}{r_3^2} = k\frac{3q}{(0.5l)^2} = k\frac{3q}{0.25l^2} = \frac{12kq}{l^2}$

$E_4 = k\frac{q_4}{r_4^2} = k\frac{4q}{(1.5l)^2} = k\frac{4q}{2.25l^2} = \frac{16kq}{9l^2}$

Теперь найдем проекцию суммарной напряженности:

$E_{Ax} = \frac{4kq}{9l^2} + \frac{8kq}{l^2} - \frac{12kq}{l^2} - \frac{16kq}{9l^2} = \frac{kq}{l^2}\left(\frac{4}{9} + 8 - 12 - \frac{16}{9}\right)$

$E_{Ax} = \frac{kq}{l^2}\left(\left(\frac{4}{9} - \frac{16}{9}\right) + (8 - 12)\right) = \frac{kq}{l^2}\left(-\frac{12}{9} - 4\right) = \frac{kq}{l^2}\left(-\frac{4}{3} - 4\right) = \frac{kq}{l^2}\left(-\frac{4+12}{3}\right) = -\frac{16kq}{3l^2}$

Знак "минус" указывает, что результирующий вектор напряженности направлен влево. Модуль напряженности равен:

$E_A = |E_{Ax}| = \frac{16kq}{3l^2}$

Подставляя $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$:

$E_A = \frac{16q}{3l^2} \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = \frac{4q}{3\pi\epsilon_0 l^2}$

Ответ:

Потенциал в точке А: $\phi_A = \frac{40kq}{3l} = \frac{10q}{3\pi\epsilon_0 l}$.

Модуль напряженности в точке А: $E_A = \frac{16kq}{3l^2} = \frac{4q}{3\pi\epsilon_0 l^2}$.