Номер 639, страница 140 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

639. Протон влетает в однородное электростатическое поле под углом $\alpha$ к параллельным заряженным пластинам, создающим однородное электростатическое поле. Расстояние между пластинами $d$, длина пластин $l$, а разность потенциалов между ними $U$. Определите кинетическую энергию протона при влете в электростатическое поле, если на вылете из него он движется параллельно пластинам. Силой тяжести пренебречь.

Дано:

Угол влета протона к пластинам: $ \alpha $

Расстояние между пластинами: $ d $

Длина пластин: $ l $

Разность потенциалов между пластинами: $ U $

Заряд протона: $ e $

Масса протона: $ m $

Конечная скорость протона параллельна пластинам.

Найти:

Начальную кинетическую энергию протона: $ K_0 $

Решение:

Введем систему координат: ось $ Ox $ направим параллельно пластинам по направлению движения протона, а ось $ Oy $ — перпендикулярно пластинам. Начало координат ($0,0$) поместим в точку, где протон влетает в поле.

Начальная скорость протона $ v_0 $ образует угол $ \alpha $ с осью $ Ox $. Разложим вектор начальной скорости на компоненты:

Проекция на ось $ Ox $: $ v_{0x} = v_0 \cos \alpha $

Проекция на ось $ Oy $: $ v_{0y} = v_0 \sin \alpha $

Внутри конденсатора создано однородное электростатическое поле, напряженность которого $ E $ направлена перпендикулярно пластинам (вдоль оси $ Oy $) и по модулю равна:

$ E = \frac{U}{d} $

На протон, имеющий заряд $ e $, со стороны поля действует постоянная сила $ F = eE $, направленная вдоль оси $ Oy $. Поскольку при вылете из поля протон движется параллельно пластинам, его вертикальная составляющая скорости $ v_y $ обращается в ноль. Это значит, что сила $ F $ была направлена противоположно вектору начальной скорости $ v_{0y} $.

Движение протона можно разложить на два независимых движения:

1. Вдоль оси $ Ox $: Движение равномерное, так как в этом направлении силы не действуют. Координата $ x $ изменяется со временем по закону:

$ x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha) t $

2. Вдоль оси $ Oy $: Движение равноускоренное (в данном случае равнозамедленное) с ускорением $ a_y $:

$ a_y = -\frac{F}{m} = -\frac{eE}{m} = -\frac{eU}{md} $

Вертикальная составляющая скорости $ v_y $ изменяется со временем по закону:

$ v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin \alpha - \frac{eU}{md} t $

Время полета протона $ t_{пол} $ внутри поля можно найти из условия, что за это время он проходит расстояние $ l $ вдоль оси $ Ox $:

$ l = x(t_{пол}) = (v_0 \cos \alpha) t_{пол} $

Отсюда выразим время полета:

$ t_{пол} = \frac{l}{v_0 \cos \alpha} $

Согласно условию задачи, в момент вылета из поля ($ t = t_{пол} $) вертикальная составляющая скорости протона равна нулю, то есть $ v_y(t_{пол}) = 0 $.

$ 0 = v_0 \sin \alpha - \frac{eU}{md} t_{пол} $

Подставим в это уравнение найденное выражение для времени полета $ t_{пол} $:

$ v_0 \sin \alpha = \frac{eU}{md} \cdot \frac{l}{v_0 \cos \alpha} $

Теперь преобразуем полученное уравнение, чтобы выразить квадрат начальной скорости $ v_0^2 $:

$ v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{eUl}{md} $

$ v_0^2 = \frac{eUl}{md \sin \alpha \cos \alpha} $

Начальная кинетическая энергия протона $ K_0 $ определяется как:

$ K_0 = \frac{mv_0^2}{2} $

Подставим в эту формулу выражение для $ v_0^2 $:

$ K_0 = \frac{m}{2} \left( \frac{eUl}{md \sin \alpha \cos \alpha} \right) = \frac{eUl}{2d \sin \alpha \cos \alpha} $

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, упростим выражение для кинетической энергии:

$ K_0 = \frac{eUl}{d \sin(2\alpha)} $

Ответ: $ K_0 = \frac{eUl}{d \sin(2\alpha)} $