Номер 635, страница 139 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

635. Маленький заряженный шарик находится в покое между большими горизонтальными пластинами, напряжение между которыми $U_1 = 300$ В. Расстояние от шарика до нижней пластины $h = 8,1$ мм. Напряжение между пластинами уменьшили до $U_2 = 240$ В. Определите промежуток времени, в течение которого шарик будет падать на нижнюю пластину. Система находится в вакууме.

Дано:

Начальное напряжение, $U_1 = 300$ В

Конечное напряжение, $U_2 = 240$ В

Расстояние до нижней пластины, $h = 8.1$ мм

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \, м/с^2$

Перевод в систему СИ:

$h = 8.1 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Время падения шарика, $t$

Решение:

Когда заряженный шарик находится в покое, действующая на него сила тяжести $F_g$ уравновешена электрической силой $F_{e1}$, действующей со стороны поля. Пусть $m$ — масса шарика, $q$ — его заряд, а $d$ — расстояние между пластинами.

Условие равновесия шарика:

$F_g = F_{e1}$

Сила тяжести $F_g = mg$, а электрическая сила $F_{e1} = qE_1$, где $E_1 = \frac{U_1}{d}$ — напряженность электрического поля.

Таким образом, $mg = q \frac{U_1}{d}$. (1)

После уменьшения напряжения до $U_2$, напряженность поля становится $E_2 = \frac{U_2}{d}$, а электрическая сила — $F_{e2} = qE_2$. Поскольку $U_2 < U_1$, сила тяжести становится больше электрической силы, и на шарик начинает действовать результирующая сила $F_{net}$, направленная вниз. Шарик начинает падать с ускорением $a$.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_{net} = ma$

$F_g - F_{e2} = ma$

$mg - q \frac{U_2}{d} = ma$. (2)

Из уравнения равновесия (1) выразим величину $\frac{q}{d} = \frac{mg}{U_1}$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$mg - (\frac{mg}{U_1})U_2 = ma$

Сократим массу $m$:

$g - g\frac{U_2}{U_1} = a$

Отсюда находим ускорение шарика:

$a = g\left(1 - \frac{U_2}{U_1}\right)$

Шарик падает с высоты $h$ из состояния покоя (начальная скорость $v_0 = 0$). Время падения можно найти из формулы для равноускоренного движения:

$h = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Выразим время $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$

Подставим выражение для ускорения $a$ в формулу для времени:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g\left(1 - \frac{U_2}{U_1}\right)}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 8.1 \cdot 10^{-3} \, м}{10 \, м/с^2 \cdot \left(1 - \frac{240 \, В}{300 \, В}\right)}} = \sqrt{\frac{16.2 \cdot 10^{-3}}{10 \cdot (1 - 0.8)}} = \sqrt{\frac{16.2 \cdot 10^{-3}}{10 \cdot 0.2}} = \sqrt{\frac{16.2 \cdot 10^{-3}}{2}} = \sqrt{8.1 \cdot 10^{-3}} = \sqrt{81 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot 10^{-2} \, с = 0.09 \, с$

Ответ: $t = 0.09$ с.