Номер 636, страница 139 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

636. Расстояние между двумя горизонтально расположенными пластинами $d = 0,50 \text{ см}$. Если на пластины подано напряжение $U = 500 \text{ В}$, то находящаяся между ними заряженная капелька воды массой $m = 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ кг}$ падает вертикально вниз с некоторой постоянной скоростью $\vec{v}$. Если же пластины отключены от источника напряжения, то капелька падает с постоянной скоростью $2\vec{v}$. Определите модуль заряда капельки, если сила сопротивления воздуха, действующая на капельку, прямо пропорциональна скорости ее падения.

Дано:

$d = 0.50 \text{ см}$

$U = 500 \text{ В}$

$m = 1.0 \cdot 10^{-10} \text{ кг}$

Скорость с полем $v_1 = v$

Скорость без поля $v_2 = 2v$

$F_{\text{сопр}} = k \cdot v_{\text{скорость}}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$d = 0.50 \text{ см} = 0.50 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 5.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$|q|$

Решение:

Рассмотрим два случая движения капельки. В обоих случаях капелька движется с постоянной скоростью, что означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к ней, равна нулю (первый закон Ньютона).

1. Движение без электрического поля.

На капельку действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $F_{\text{сопр,2}}$, направленная вертикально вверх. Скорость капельки в этом случае $v_2 = 2v$.

Сила сопротивления воздуха по условию пропорциональна скорости: $F_{\text{сопр,2}} = k \cdot (2v)$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Условие равновесия сил:

$F_g = F_{\text{сопр,2}}$

$mg = 2kv \quad (1)$

2. Движение в электрическом поле.

На капельку действуют сила тяжести $F_g = mg$ (вниз), сила сопротивления воздуха $F_{\text{сопр,1}}$ (вверх) и электрическая сила $F_e$. Скорость капельки в этом случае $v_1 = v$, следовательно, сила сопротивления $F_{\text{сопр,1}} = k \cdot v$.

Поскольку скорость падения в электрическом поле ($v$) меньше, чем без него ($2v$), это означает, что электрическая сила $F_e$ направлена вверх, то есть противодействует силе тяжести.

Условие равновесия сил для этого случая:

$F_g = F_{\text{сопр,1}} + F_e$

$mg = kv + F_e \quad (2)$

Теперь решим систему уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим величину $kv$:

$kv = \frac{mg}{2}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$mg = \frac{mg}{2} + F_e$

Отсюда находим электрическую силу:

$F_e = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$

Электрическая сила, действующая на заряд в однородном поле между пластинами, определяется как $F_e = |q|E$. Напряженность электрического поля $E$ связана с напряжением $U$ и расстоянием между пластинами $d$ соотношением $E = \frac{U}{d}$.

Таким образом, $F_e = |q|\frac{U}{d}$.

Приравняем полученные выражения для электрической силы:

$\frac{mg}{2} = |q|\frac{U}{d}$

Выразим из этого уравнения модуль заряда капельки $|q|$:

$|q| = \frac{mgd}{2U}$

Подставим числовые значения:

$|q| = \frac{1.0 \cdot 10^{-10} \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{2 \cdot 500 \text{ В}} = \frac{49 \cdot 10^{-13} \text{ кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{1000 \text{ В}} = \frac{49 \cdot 10^{-13}}{10^3} \text{ Кл}$

$|q| = 49 \cdot 10^{-16} \text{ Кл} = 4.9 \cdot 10^{-15} \text{ Кл}$

Ответ: модуль заряда капельки равен $4.9 \cdot 10^{-15}$ Кл.