Номер 638, страница 139 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

638. Электрон разгоняется из состояния покоя в электростатическом поле между точками с разностью потенциалов $\varphi_1 - \varphi_2 = -10 \text{ кВ}$ и влетает посередине между параллельно расположенными пластинами. Причем вектор скорости направлен параллельно пластинам.

При каком максимальном напряжении между пластинами электрон сможет вылететь из области поля, созданного заряженными пластинами? Длина каждой пластины $l = 10 \text{ см}$, расстояние между ними $d = 3,0 \text{ см}$. Силой тяжести, действующей на электрон, пренебречь. Поле между пластинами считать однородным.

Дано:

Разность потенциалов $ \phi_1 - \phi_2 = -10 \text{ кВ} $

Длина пластин $ l = 10 \text{ см} $

Расстояние между пластинами $ d = 3,0 \text{ см} $

Перевод в систему СИ:

Разгоняющее напряжение $ U_{разг} = -(\phi_1 - \phi_2) = 10 \text{ кВ} = 10^4 \text{ В} $

$ l = 0,1 \text{ м} $

$ d = 0,03 \text{ м} $

Найти:

Максимальное напряжение между пластинами $ U_{max} $

Решение:

Сначала определим скорость $ v_0 $, с которой электрон влетает в пространство между пластинами. Электрон разгоняется в электростатическом поле из состояния покоя. Согласно теореме о кинетической энергии, работа поля равна изменению кинетической энергии электрона:

$ A = \frac{m_e v_0^2}{2} $

Работа поля $ A = q \cdot (\phi_1 - \phi_2) $. Так как заряд электрона $ q = -e $ (где $ e $ - элементарный заряд), а разгоняющее напряжение $ U_{разг} = \phi_2 - \phi_1 = -(\phi_1 - \phi_2) $, получаем:

$ \frac{m_e v_0^2}{2} = (-e)(\phi_1 - \phi_2) = e(\phi_2 - \phi_1) = e U_{разг} $

Отсюда выразим квадрат скорости электрона при влете в пластины:

$ v_0^2 = \frac{2 e U_{разг}}{m_e} $

Далее рассмотрим движение электрона в однородном поле между пластинами. Это движение можно разложить на две независимые компоненты: по горизонтали (вдоль пластин, ось OX) и по вертикали (перпендикулярно пластинам, ось OY).

Движение по оси OX является равномерным, так как в этом направлении сила не действует. Время, которое электрон проводит между пластинами, равно времени пролета расстояния $ l $:

$ t = \frac{l}{v_0} $

Движение по оси OY является равноускоренным. Напряженность поля между пластинами $ E = \frac{U}{d} $. Сила, действующая на электрон в вертикальном направлении, $ F_y = eE = \frac{eU}{d} $. По второму закону Ньютона, ускорение электрона:

$ a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eU}{m_e d} $

Электрон влетает в поле ровно посередине, поэтому его начальная вертикальная скорость равна нулю. Вертикальное смещение электрона за время $ t $:

$ y = \frac{a_y t^2}{2} = \frac{eU}{2 m_e d} \left( \frac{l}{v_0} \right)^2 = \frac{eU l^2}{2 m_e d v_0^2} $

Электрон вылетит из пространства между пластинами, если за время пролета $ t $ его вертикальное смещение $ y $ не превысит половины расстояния между пластинами, то есть $ y \le \frac{d}{2} $. Максимальное напряжение $ U_{max} $ соответствует предельному случаю, когда электрон на вылете касается края пластины, то есть $ y = \frac{d}{2} $.

Подставим это условие в уравнение для смещения:

$ \frac{d}{2} = \frac{e U_{max} l^2}{2 m_e d v_0^2} $

Выразим $ U_{max} $:

$ U_{max} = \frac{m_e d^2 v_0^2}{e l^2} $

Теперь подставим в это выражение квадрат скорости $ v_0^2 $:

$ U_{max} = \frac{m_e d^2}{e l^2} \left( \frac{2 e U_{разг}}{m_e} \right) $

Масса $ m_e $ и заряд $ e $ сокращаются, что приводит к итоговой формуле для расчета:

$ U_{max} = 2 U_{разг} \left( \frac{d}{l} \right)^2 $

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$ U_{max} = 2 \cdot (10 \cdot 10^3 \text{ В}) \cdot \left( \frac{0,03 \text{ м}}{0,1 \text{ м}} \right)^2 = 2 \cdot 10^4 \text{ В} \cdot (0,3)^2 = 2 \cdot 10^4 \cdot 0,09 \text{ В} = 1800 \text{ В} $

Ответ: $ U_{max} = 1,8 \text{ кВ} $.