Номер 650, страница 142 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

650. На координатной оси $Ox$ расположены два точечных заряда $q_1$ и $q_2$ (рис. 115). Определите проекцию напряженности электростатического поля в точке $B$, если в точке $A$ потенциал поля $\varphi_A = 110 \text{ В}$, а в точке $C$ потенциал $\varphi_C = 190 \text{ В}$.

Рис. 115

Дано

$x_1 = 0$ см

$x_2 = 100$ см

$x_A = 10$ см

$x_C = 90$ см

$x_B = 50$ см

$φ_A = 110$ В

$φ_C = 190$ В

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 0$ м

$x_2 = 1$ м

$x_A = 0.1$ м

$x_C = 0.9$ м

$x_B = 0.5$ м

Найти:

$E_{Bx}$

Решение

Электростатическое поле создается двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$. Потенциал поля в любой точке на оси Ox равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в этой точке (принцип суперпозиции).

Потенциал, создаваемый точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется формулой:

$φ = \frac{kq}{r}$

где $k$ — электрическая постоянная, $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

Запишем выражения для потенциалов в точках A и C.

Для точки A (координата $x_A = 0.1$ м):

Расстояние от заряда $q_1$ до точки A: $r_{1A} = |x_A - x_1| = |0.1 - 0| = 0.1$ м.

Расстояние от заряда $q_2$ до точки A: $r_{2A} = |x_A - x_2| = |0.1 - 1| = 0.9$ м.

Потенциал в точке A:

$φ_A = \frac{kq_1}{r_{1A}} + \frac{kq_2}{r_{2A}} = \frac{kq_1}{0.1} + \frac{kq_2}{0.9} = 110$ В

Для точки C (координата $x_C = 0.9$ м):

Расстояние от заряда $q_1$ до точки C: $r_{1C} = |x_C - x_1| = |0.9 - 0| = 0.9$ м.

Расстояние от заряда $q_2$ до точки C: $r_{2C} = |x_C - x_2| = |0.9 - 1| = 0.1$ м.

Потенциал в точке C:

$φ_C = \frac{kq_1}{r_{1C}} + \frac{kq_2}{r_{2C}} = \frac{kq_1}{0.9} + \frac{kq_2}{0.1} = 190$ В

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($kq_1$ и $kq_2$):

$\begin{cases} 10(kq_1) + \frac{10}{9}(kq_2) = 110 \\ \frac{10}{9}(kq_1) + 10(kq_2) = 190 \end{cases}$

Для удобства решения сложим и вычтем уравнения. Сначала сложим их:

$(10 + \frac{10}{9})(kq_1) + (\frac{10}{9} + 10)(kq_2) = 110 + 190$

$\frac{100}{9}(kq_1 + kq_2) = 300$

$kq_1 + kq_2 = \frac{300 \cdot 9}{100} = 27$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(\frac{10}{9} - 10)(kq_1) + (10 - \frac{10}{9})(kq_2) = 190 - 110$

$-\frac{80}{9}(kq_1) + \frac{80}{9}(kq_2) = 80$

$\frac{80}{9}(kq_2 - kq_1) = 80$

$kq_2 - kq_1 = 9$

Теперь решим новую, более простую систему:

$\begin{cases} kq_1 + kq_2 = 27 \\ kq_2 - kq_1 = 9 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим:

$2(kq_2) = 36 \implies kq_2 = 18$ В·м

Подставив это значение в первое уравнение, найдем $kq_1$:

$kq_1 + 18 = 27 \implies kq_1 = 9$ В·м

Теперь определим проекцию напряженности электростатического поля в точке B ($x_B = 0.5$ м).

Проекция напряженности на ось Ox также подчиняется принципу суперпозиции:

$E_{Bx} = E_{1x} + E_{2x}$

Поскольку произведения $kq_1$ и $kq_2$ положительны, оба заряда $q_1$ и $q_2$ имеют одинаковый (положительный) знак. Вектор напряженности поля, создаваемого положительным зарядом, направлен от заряда.

Следовательно, в точке B поле от заряда $q_1$ направлено в положительном направлении оси Ox, а поле от заряда $q_2$ — в отрицательном.

Расстояние от $q_1$ до B: $r_{1B} = x_B - x_1 = 0.5 - 0 = 0.5$ м.

Расстояние от $q_2$ до B: $r_{2B} = x_2 - x_B = 1 - 0.5 = 0.5$ м.

Проекция напряженности на ось Ox в точке B:

$E_{Bx} = \frac{kq_1}{r_{1B}^2} - \frac{kq_2}{r_{2B}^2} = \frac{kq_1}{(0.5)^2} - \frac{kq_2}{(0.5)^2}$

$E_{Bx} = \frac{kq_1 - kq_2}{0.25}$

Подставим найденные значения $kq_1=9$ В·м и $kq_2=18$ В·м:

$E_{Bx} = \frac{9 - 18}{0.25} = \frac{-9}{0.25} = -36$ В/м

Ответ: Проекция напряженности электростатического поля в точке B равна $-36$ В/м.