Номер 226, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

226. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

a) $y = \sqrt{x^2 - 5}$ и $y = \sqrt{x + 1};$

б) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5}$ и $y = \sqrt{x - 1}.$

а) $y = \sqrt{x^2 - 5}$ и $y = \sqrt{x + 1}$

Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ равны.

$\sqrt{x^2 - 5} = \sqrt{x + 1}$

Прежде чем решать уравнение, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 5 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

1. $x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

2. $x \ge -1$

Найдем пересечение этих двух множеств. Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, общая область для $x$ будет $x \in [\sqrt{5}, \infty)$.

Теперь решим само уравнение. Поскольку обе его части неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней (при условии проверки по ОДЗ).

$(\sqrt{x^2 - 5})^2 = (\sqrt{x + 1})^2$

$x^2 - 5 = x + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Это уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Следовательно, корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ: $x \in [\sqrt{5}, \infty)$.

Проверяем $x_1 = 3$. Так как $3 = \sqrt{9}$ и $9 > 5$, то $3 > \sqrt{5}$. Этот корень принадлежит ОДЗ.

Проверяем $x_2 = -2$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как он отрицателен, а ОДЗ содержит только положительные числа, большие или равные $\sqrt{5}$.

Таким образом, существует только одна точка пересечения, и ее абсцисса равна 3.

Ответ: 3

б) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5}$ и $y = \sqrt{x - 1}$

Аналогично пункту а), приравняем правые части функций:

$\sqrt{x^2 - 4x + 5} = \sqrt{x - 1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 4x + 5 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство отдельно:

1. $x^2 - 4x + 5 \ge 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный ($a=1 > 0$), то парабола $y = x^2 - 4x + 5$ целиком находится выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $x^2 - 4x + 5$ положительно при любом значении $x$.

2. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Итак, ОДЗ для данного уравнения: $x \in [1, \infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 4x + 5})^2 = (\sqrt{x - 1})^2$

$x^2 - 4x + 5 = x - 1$

Соберем все члены в левой части:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 3$

Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 2$. Так как $2 \ge 1$, этот корень является решением.

Корень $x_2 = 3$. Так как $3 \ge 1$, этот корень также является решением.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2; 3