Номер 223, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

223. Решите уравнение:

а) $ \sqrt[3]{x^3 - x^2 + 9} = x; $

б) $ \sqrt[5]{6 - 3x - x^5} = -x; $

в) $ \sqrt[3]{x^3 + x^2 - 7x + 6} = x. $

а) $\sqrt[3]{x^3 - x^2 + 9} = x$
Чтобы решить данное уравнение, возведем обе его части в третью степень. Так как корень нечетной степени, данное преобразование является равносильным и не приведет к появлению посторонних корней.
$(\sqrt[3]{x^3 - x^2 + 9})^3 = x^3$
$x^3 - x^2 + 9 = x^3$
Теперь перенесем все члены в одну часть уравнения, чтобы упростить его. Вычтем $x^3$ из обеих частей:
$-x^2 + 9 = 0$
$x^2 = 9$
Извлекая квадратный корень, получаем два решения:
$x_1 = 3$
$x_2 = -3$
Проверим оба корня:
При $x=3$: $\sqrt[3]{3^3 - 3^2 + 9} = \sqrt[3]{27 - 9 + 9} = \sqrt[3]{27} = 3$. Правая часть равна $x=3$. $3=3$, корень верный.
При $x=-3$: $\sqrt[3]{(-3)^3 - (-3)^2 + 9} = \sqrt[3]{-27 - 9 + 9} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Правая часть равна $x=-3$. $-3=-3$, корень верный.
Ответ: -3; 3.

б) $\sqrt[5]{6 - 3x - x^5} = -x$
Возведем обе части уравнения в пятую степень. Это преобразование также является равносильным.
$(\sqrt[5]{6 - 3x - x^5})^5 = (-x)^5$
$6 - 3x - x^5 = -x^5$
Прибавим $x^5$ к обеим частям уравнения:
$6 - 3x = 0$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Проверим полученный корень:
При $x=2$: $\sqrt[5]{6 - 3(2) - 2^5} = \sqrt[5]{6 - 6 - 32} = \sqrt[5]{-32} = -2$. Правая часть равна $-x = -2$. $-2=-2$, корень верный.
Ответ: 2.

в) $\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 7x + 6} = x$
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 7x + 6})^3 = x^3$
$x^3 + x^2 - 7x + 6 = x^3$
Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Решение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}$
$x_1 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Проверим корни:
При $x=1$: $\sqrt[3]{1^3 + 1^2 - 7(1) + 6} = \sqrt[3]{1 + 1 - 7 + 6} = \sqrt[3]{1} = 1$. Правая часть равна $x=1$. $1=1$, корень верный.
При $x=6$: $\sqrt[3]{6^3 + 6^2 - 7(6) + 6} = \sqrt[3]{216 + 36 - 42 + 6} = \sqrt[3]{216} = 6$. Правая часть равна $x=6$. $6=6$, корень верный.
Ответ: 1; 6.