Номер 218, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

218. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

a) $y = \sqrt[4]{3x - 5}$ и $y = 2$;

б) $y = \sqrt[3]{x^2 - 10x + 1}$ и $y = -2$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[4]{3x - 5}$ и $y = 2$, нужно приравнять правые части их уравнений.

Получим уравнение:

$\sqrt[4]{3x - 5} = 2$

Область допустимых значений для этого уравнения определяется условием, что подкоренное выражение в корне четной степени должно быть неотрицательным:

$3x - 5 \ge 0$

$3x \ge 5$

$x \ge \frac{5}{3}$

Для решения уравнения возведем обе его части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{3x - 5})^4 = 2^4$

$3x - 5 = 16$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$3x = 16 + 5$

$3x = 21$

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = 7$ условию $x \ge \frac{5}{3}$.

$7 \ge \frac{5}{3}$ — это верное неравенство, так как $7 = \frac{21}{3}$.

Следовательно, абсцисса точки пересечения равна 7.

Ответ: $7$.

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[3]{x^2 - 10x + 1}$ и $y = -2$, приравняем правые части их уравнений.

Получим уравнение:

$\sqrt[3]{x^2 - 10x + 1} = -2$

Поскольку корень нечетной степени (третьей) определен для любого действительного числа, никаких ограничений на подкоренное выражение нет. Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[3]{x^2 - 10x + 1})^3 = (-2)^3$

$x^2 - 10x + 1 = -8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 10x + 1 + 8 = 0$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $10$, а их произведение равно $9$. Отсюда легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

Альтернативный способ — решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 8}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках с абсциссами 1 и 9.

Ответ: $1; 9$.