Номер 222, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

222. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt{6 - 4x - x^2}$ и $y = x + 4;$

б) $y = \sqrt{5 - x^2}$ и $y = x - 1.$

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{6 - 4x - x^2}$ и $y = x + 4$, приравняем их правые части:
$\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4$
Это иррациональное уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, и квадрат левой части равен квадрату правой:
$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 6 - 4x - x^2 = (x + 4)^2 \end{cases}$
Решим второе уравнение системы, возведя в квадрат правую часть:
$6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 + 12x + 10 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 + 6x + 5 = 0$
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -1$ и $x_2 = -5$
Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.
Проверяем корень $x_1 = -1$:
$-1 \ge -4$ (верно).
Проверяем корень $x_2 = -5$:
$-5 \ge -4$ (неверно).
Таким образом, корень $x = -5$ является посторонним, и единственной абсциссой точки пересечения является $x = -1$.
Ответ: -1.

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{5 - x^2}$ и $y = x - 1$, приравняем их правые части:
$\sqrt{5 - x^2} = x - 1$
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 5 - x^2 = (x - 1)^2 \end{cases}$
Из первого неравенства системы следует, что $x \ge 1$.
Решим второе уравнение системы:
$5 - x^2 = x^2 - 2x + 1$
Приведем подобные члены:
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - x - 2 = 0$
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Корни уравнения:
$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 1$.
Проверяем корень $x_1 = 2$:
$2 \ge 1$ (верно).
Проверяем корень $x_2 = -1$:
$-1 \ge 1$ (неверно).
Следовательно, корень $x = -1$ является посторонним. Единственной абсциссой точки пересечения является $x = 2$.
Ответ: 2.