Номер 227, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

227. Решите двумя способами уравнение $\sqrt[8]{x^2+4x-16} - \sqrt[8]{2x-1} = 0$.

Способ 1: Алгебраическое решение

Исходное уравнение: $\sqrt[8]{x^2 + 4x - 16} - \sqrt[8]{2x - 1} = 0$.
Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$\sqrt[8]{x^2 + 4x - 16} = \sqrt[8]{2x - 1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как показатель корня (8) является четным числом, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4x - 16 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим второе, более простое, неравенство:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$

Теперь решим первое неравенство $x^2 + 4x - 16 \ge 0$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 16 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$

Парабола $y = x^2 + 4x - 16$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 16 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2 - 2\sqrt{5}] \cup [-2 + 2\sqrt{5}, +\infty)$.

Объединим решения обоих неравенств, чтобы найти ОДЗ. Для этого сравним $\frac{1}{2}$ и $-2 + 2\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $-2 + 2\sqrt{5} \approx -2 + 4.472 = 2.472$. Очевидно, что $2.472 > 0.5$.

Таким образом, ОДЗ определяется пересечением $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \in (-\infty, -2 - 2\sqrt{5}] \cup [-2 + 2\sqrt{5}, +\infty)$, что дает $x \in [-2 + 2\sqrt{5}, +\infty)$.

Теперь вернемся к уравнению $\sqrt[8]{x^2 + 4x - 16} = \sqrt[8]{2x - 1}$. В области ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в 8-ю степень:

$x^2 + 4x - 16 = 2x - 1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -15. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -2 + 2\sqrt{5} \approx 2.472$).
Корень $x_1 = -5$ не входит в ОДЗ, так как $-5 < 2.472$. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 3$ входит в ОДЗ, так как $3 > 2.472$.

Ответ: $x=3$.

Способ 2: Использование свойств функции

Запишем уравнение в виде $\sqrt[8]{x^2 + 4x - 16} = \sqrt[8]{2x - 1}$.

Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt[8]{t}$. Эта функция определена на множестве $t \ge 0$ и является строго возрастающей на всей области своего определения.

Из свойства строгой монотонности следует, что равенство $f(a) = f(b)$ возможно тогда и только тогда, когда $a = b$.

Применительно к нашему уравнению, которое имеет вид $f(x^2 + 4x - 16) = f(2x - 1)$, это означает, что оно равносильно равенству подкоренных выражений при условии их неотрицательности:

$x^2 + 4x - 16 = 2x - 1$

Это равенство должно выполняться при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Так как они равны, достаточно потребовать неотрицательности одного из них, например, более простого:

$2x - 1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$

Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению системы:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 15 = 0 \\ x \ge 0.5 \end{cases}$

Решениями квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$ являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 0.5$.
Корень $x_1 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < 0.5$.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию, так как $3 > 0.5$.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: $x=3$.