Номер 233, страница 194 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

233. Примените правило равенства произведения нулю и решите уравнение:

а) $(x + 8)\sqrt{x + 3} = 0;$ б) $(x^2 + 4x + 3)\sqrt{x + 2} = 0;$

В) $(2x - 1)\sqrt{x^2 - 1} = 0.$

а) $(x + 8)\sqrt{x + 3} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Теперь приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $x + 8 = 0 \implies x = -8$

2) $\sqrt{x + 3} = 0$. Возведем обе части в квадрат: $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -3$):

• Корень $x = -8$ не удовлетворяет условию $x \ge -3$, так как $-8 < -3$. Следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x = -3$ удовлетворяет условию $x \ge -3$. Этот корень является решением уравнения.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: $-3$

б) $(x^2 + 4x + 3)\sqrt{x + 2} = 0$

Найдем ОДЗ уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Приравняем каждый множитель к нулю в пределах ОДЗ:

1) $x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета: сумма корней равна $-4$, произведение равно $3$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

2) $\sqrt{x + 2} = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$

Проверим найденные значения $x = -1$, $x = -3$ и $x = -2$ на соответствие ОДЗ ($x \ge -2$):

• Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -2$.
• Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge -2$. Это посторонний корень.
• Корень $x = -2$ удовлетворяет условию $x \ge -2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; -1$

в) $(2x - 1)\sqrt{x^2 - 1} = 0$

Найдем ОДЗ уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 1 \ge 0$

$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решая это неравенство (например, методом интервалов), получаем, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$

2) $\sqrt{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$):

• Корень $x = \frac{1}{2}$ (или 0.5) не входит в ОДЗ, так как $-1 < 0.5 < 1$. Это посторонний корень.
• Корень $x = 1$ входит в ОДЗ.
• Корень $x = -1$ входит в ОДЗ.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 1$