Номер 240, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

240. Решите уравнение:

а) $3^{2x+1} - 5 \cdot 3^{2x-1} = 36;$

б) $5^{x-1} + 5^{x-2} + 5^{x-3} = 155.$

а) $3^{2x+1} - 5 \cdot 3^{2x-1} = 36$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$3^{2x} \cdot 3^1 - 5 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-1} = 36$

$3 \cdot 3^{2x} - 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3^{2x} = 36$

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:

$3^{2x} \cdot (3 - \frac{5}{3}) = 36$

Выполним вычитание в скобках:

$3 - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 36$

Найдем $3^{2x}$:

$3^{2x} = 36 \cdot \frac{3}{4}$

$3^{2x} = 9 \cdot 3$

$3^{2x} = 27$

Представим 27 как степень числа 3:

$3^{2x} = 3^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1.5$

Ответ: $x = \frac{3}{2}$

б) $5^{x-1} + 5^{x-2} + 5^{x-3} = 155$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $5^{x-3}$:

$5^{(x-3)+2} + 5^{(x-3)+1} + 5^{x-3} = 155$

$5^{x-3} \cdot 5^2 + 5^{x-3} \cdot 5^1 + 5^{x-3} \cdot 1 = 155$

Вынесем общий множитель $5^{x-3}$ за скобки:

$5^{x-3} \cdot (5^2 + 5^1 + 1) = 155$

Вычислим значение в скобках:

$25 + 5 + 1 = 31$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$5^{x-3} \cdot 31 = 155$

Найдем $5^{x-3}$:

$5^{x-3} = \frac{155}{31}$

$5^{x-3} = 5$

Представим 5 как $5^1$:

$5^{x-3} = 5^1$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x - 3 = 1$

$x = 1 + 3$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$