Номер 245, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

245. Решите показательное неравенство:

а) $1,5^{7-2x} \leqslant \left(\frac{8}{27}\right)^{x-2};$

б) $7^{x^2 - 7,2x + 3,9} \geqslant 49\sqrt{7};$

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3x-1}{x+4}} > 27;$

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2x^2}{3}} < 4^{-x} \cdot 8^{-x}.$

а) $1,5^{7-2x} \le \left(\frac{8}{27}\right)^{x-2}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Представим $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. Правую часть также представим в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$: $\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:
$\left(\frac{3}{2}\right)^{7-2x} \le \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}\right)^{x-2}$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{7-2x} \le \left(\frac{3}{2}\right)^{-3(x-2)}$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{7-2x} \le \left(\frac{3}{2}\right)^{-3x+6}$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$7 - 2x \le -3x + 6$

Решим полученное линейное неравенство:
$-2x + 3x \le 6 - 7$
$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

б) $7^{x^2 - 7,2x + 3,9} \ge 49\sqrt{7}$

Приведем правую часть неравенства к основанию 7:
$49\sqrt{7} = 7^2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{2 + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{5}{2}} = 7^{2,5}$.

Перепишем неравенство:
$7^{x^2 - 7,2x + 3,9} \ge 7^{2,5}$

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:
$x^2 - 7,2x + 3,9 \ge 2,5$

Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 7,2x + 3,9 - 2,5 \ge 0$
$x^2 - 7,2x + 1,4 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7,2x + 1,4 = 0$.
Для удобства можно умножить уравнение на 5, чтобы избавиться от десятичных дробей: $5x^2 - 36x + 7 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 1296 - 140 = 1156$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
$x_1 = \frac{36 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$
$x_2 = \frac{36 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{70}{10} = 7$

Парабола $y = x^2 - 7,2x + 1,4$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 7,2x + 1,4 \ge 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
$x \le 0,2$ или $x \ge 7$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0,2] \cup [7, +\infty)$.

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3x-1}{x+4}} > 27$

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$:
$27 = 3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$.

Перепишем неравенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3x-1}{x+4}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{3x-1}{x+4} < -3$

Решим полученное дробно-рациональное неравенство. Область допустимых значений: $x \ne -4$.
$\frac{3x-1}{x+4} + 3 < 0$
$\frac{3x-1 + 3(x+4)}{x+4} < 0$
$\frac{3x-1 + 3x+12}{x+4} < 0$
$\frac{6x+11}{x+4} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$6x+11 = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{6}$
$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$
Отметим точки $-4$ и $-\frac{11}{6}$ на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{6x+11}{x+4}$ в каждом интервале.
При $x > -\frac{11}{6}$ выражение положительно.
При $-4 < x < -\frac{11}{6}$ выражение отрицательно.
При $x < -4$ выражение положительно.
Нам нужно найти, где выражение меньше нуля, следовательно, решением является интервал $(-4, -\frac{11}{6})$.

Ответ: $x \in \left(-4, -\frac{11}{6}\right)$.

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2x^2}{3}} < 4^{-x} \cdot 8^{-x}$

Приведем все части неравенства к одному основанию, например, к 2.
$\frac{1}{8} = 2^{-3}$
$4 = 2^2$
$8 = 2^3$

Преобразуем левую часть:
$\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2x^2}{3}} = \left(2^{-3}\right)^{\frac{2x^2}{3}} = 2^{-3 \cdot \frac{2x^2}{3}} = 2^{-2x^2}$

Преобразуем правую часть:
$4^{-x} \cdot 8^{-x} = (2^2)^{-x} \cdot (2^3)^{-x} = 2^{-2x} \cdot 2^{-3x} = 2^{-2x-3x} = 2^{-5x}$

Неравенство принимает вид:
$2^{-2x^2} < 2^{-5x}$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$-2x^2 < -5x$

Решим полученное квадратное неравенство:
$5x - 2x^2 < 0$
$x(5 - 2x) < 0$

Найдем корни уравнения $x(5-2x)=0$: $x_1=0$ и $x_2=\frac{5}{2}$.
Парабола $y = 5x - 2x^2$ имеет ветви, направленные вниз. Неравенство $y < 0$ выполняется за пределами корней.
$x < 0$ или $x > \frac{5}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$.