Номер 250, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

250. Решите логарифмическое уравнение, используя определение логарифма:

а) $\log_{0.5}(5x - 1) = -2;$

б) $\lg(x + 7) = 3;$

в) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 - 5x + 2) = 6;$

г) $\log_{7}(x^2 - 8) = 0.$

а) Дано уравнение $ \log_{0,5}(5x - 1) = -2 $.
Используя определение логарифма ($ \log_b a = c \iff a = b^c $), перепишем уравнение:
$ 5x - 1 = (0,5)^{-2} $
Вычислим правую часть:
$ (0,5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 $
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$ 5x - 1 = 4 $
$ 5x = 5 $
$ x = 1 $
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ 5x - 1 > 0 \implies 5x > 1 \implies x > \frac{1}{5} $
Корень $ x=1 $ удовлетворяет условию $ 1 > \frac{1}{5} $.
Ответ: $1$.

б) Дано уравнение $ \lg(x + 7) = 3 $.
Десятичный логарифм $ \lg $ имеет основание 10, поэтому уравнение можно записать как $ \log_{10}(x + 7) = 3 $.
По определению логарифма:
$ x + 7 = 10^3 $
Вычислим правую часть:
$ 10^3 = 1000 $
Решим уравнение:
$ x + 7 = 1000 $
$ x = 1000 - 7 $
$ x = 993 $
Проверим ОДЗ: выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
$ x + 7 > 0 \implies x > -7 $
Корень $ x=993 $ удовлетворяет условию $ 993 > -7 $.
Ответ: $993$.

в) Дано уравнение $ \log_{\sqrt{2}}(x^2 - 5x + 2) = 6 $.
По определению логарифма:
$ x^2 - 5x + 2 = (\sqrt{2})^6 $
Вычислим правую часть:
$ (\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^{6/2} = 2^3 = 8 $
Получаем квадратное уравнение:
$ x^2 - 5x + 2 = 8 $
$ x^2 - 5x - 6 = 0 $
Решим его, используя, например, теорему Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Отсюда находим корни:
$ x_1 = 6 $, $ x_2 = -1 $
Также можно решить через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2} $, откуда $ x_1 = \frac{12}{2} = 6 $ и $ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 $.
Проверим ОДЗ: $ x^2 - 5x + 2 > 0 $. Поскольку из нашего решения следует, что $ x^2 - 5x + 2 = 8 $, а $ 8 > 0 $, то оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-1; 6$.

г) Дано уравнение $ \log_7(x^2 - 8) = 0 $.
По определению логарифма:
$ x^2 - 8 = 7^0 $
Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то $ 7^0 = 1 $.
Получаем уравнение:
$ x^2 - 8 = 1 $
$ x^2 = 9 $
Отсюда находим корни:
$ x = \pm 3 $, то есть $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -3 $.
Проверим ОДЗ: $ x^2 - 8 > 0 $. Из нашего решения следует, что $ x^2 - 8 = 1 $, а $ 1 > 0 $, поэтому оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-3; 3$.